Confundido sobre cómo escalamos los ejes de los gráficos para hacerlos adimensionales.

Question

Estoy tratando de entender la solución a la parte $\mathrm{(iii)}$ . Pero, para que la pregunta que hago tenga sentido necesito incluir las soluciones a las partes $\mathrm{(i)}$ y $\mathrm{(ii)}$ también:

Consideremos un entramado triangular en el que los lados de los triángulos tienen longitud $d$ . La figura ofrece una selección de celdas unitarias (líneas discontinuas).

$\mathrm{(i)}$ Utiliza los lados de las celdas unitarias como vectores primitivos de la red, $\boldsymbol{a}_1$ y $\boldsymbol{a}_2$ . Escribe estos vectores en coordenadas cartesianas.

$\mathrm{(ii)}$ Escribe un par de vectores espaciales recíprocos $b_{1,2}$ satisfaciendo la condición de que $a_i\cdot b_j = 2\pi\delta_{ij}$ . (Si quieres utilizar la fórmula explícita en tres dimensiones que se da en las clases, entonces debes elegir como $\boldsymbol{a}_3$ el vector unitario en la dirección de salida de la página).

$\mathrm{(iii)}$ Los vectores recíprocos de la red $\boldsymbol{G}$ se definen por $\boldsymbol{G} = h_1b_1 + h_2b_2$ donde $h_{1,2}$ son números enteros y $\boldsymbol{b}_1$ y $\boldsymbol{b}_2$ . Dibuje la red formada por los vectores recíprocos de la red $\boldsymbol{G}$ de la red triangular.

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Soluciones:

$\mathrm{(i)}$ Los vectores primitivos de la red son $\boldsymbol{a}_1 = (d, 0)$ y $\boldsymbol{a}_2 = \left(\dfrac{d}{2},\dfrac{\sqrt{3}d}{2}\right)$ .

$\mathrm{(ii)}$ Una elección de los vectores primitivos de la red (flechas en negrita en diagrama) para la red recíproca es $\boldsymbol{b}_1=\left(\dfrac{2\pi}{d},-\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}d}\right)$ y $\boldsymbol{b}_2=\left(0,\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}d}\right)$ . Son posibles otras opciones, como por ejemplo $\boldsymbol{b}_1$ y $\boldsymbol{b}_2$ .

$\mathrm{(iii)}$ $\boldsymbol{G} = h_1\boldsymbol{b}_1 + h_2\boldsymbol{b}_2$ con números enteros $h_{1,2}$ . El diagrama muestra todos los $\boldsymbol{G}$ vectores trazados como puntos en $\boldsymbol{k}$ -espacio. Todos los $\boldsymbol{G}$ Los vectores forman un conjunto periódico en el espacio recíproco. Esta "red recíproca" para una red triangular en el espacio real es a su vez una red triangular en $\boldsymbol{k}$ -espacio.

Cuando le pregunté a mi profesor sobre este escalamiento en el $x$ y $y$ eje acaba de decir (algo así) que es para "evitar tener factores de $\dfrac{2\pi}{d}$ en cada incremento del $x$ y $y$ eje". Esto tiene sentido ya que al tener un eje adimensional $x$ -El eje se ve más claro que esto:

y de forma similar para el $y$ eje.

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Así que primero voy a factorizar $\dfrac{2\pi}{d}$ entonces los vectores recíprocos de la red son $\boldsymbol{b}_1=\left(\dfrac{2\pi}{d},-\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}d}\right)=\dfrac{2\pi}{d}\left(1,-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ y $\boldsymbol{b}_2=\left(0,\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}d}\right)=\dfrac{2\pi}{d}\left(0,\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)$ . Al escribirlo así, pensé que los gráficos $x$ -El eje debe tener este aspecto:

y de forma similar para el $y$ -eje.

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La razón por la que creo que la etiqueta del eje del gráfico debería decir $\dfrac{2\pi k_x}{d}$ y no $\dfrac{k_x d}{2\pi}$ (en la solución) es simplemente porque he descontado el $\dfrac{2\pi}{d}$ anterior para que lo que se grafique no dependa de $\dfrac{2\pi}{d}$ . Las matemáticas no son mi punto fuerte y no puedo entender por qué el eje dice $\dfrac{k_x d}{2\pi}$ en lugar de $\dfrac{2\pi k_x}{d}$ (que es lo que parece que debería ser). ¿Puede alguien explicar lo que está pasando aquí?

Gracias de antemano.

Answer 1

El $x$ -eje y $y$ -en la gráfica de la solución tienen puntos marcados equidistantes $0,1,2,\ldots$ . Las flechas azules representan los vectores \begin{align*} \mathbb{\tilde{b}}_1&=\left(1,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(1,-0.577\ldots\right)\\ \mathbb{\tilde{b}}_2&=\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\left(1,1.154\ldots\right)\\ \end{align*} El gráfico de la solución presenta vectores de tilde escalados. Los vectores originales son \begin{align*} \mathbb{b}_1&=\frac{2\pi}{d}\left(1,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\ \mathbb{b}_2&=\frac{2\pi}{d}\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\\ \end{align*}

Por lo tanto, tenemos la relación \begin{align*} \mathbb{b}_1&=\frac{2\pi}{d}\mathbb{\tilde{b}}_1 \qquad\to\qquad \mathbb{\tilde{b}}_1=\frac{d}{2\pi}\mathbb{b}_1\\ \mathbb{b}_2&=\frac{2\pi}{d}\mathbb{\tilde{b}}_2 \qquad\to\qquad \mathbb{\tilde{b}}_2=\frac{d}{2\pi}\mathbb{b}_2\ \end{align*} Vemos el tilde -Los vectores se escalan por $\color{blue}{\frac{d}{2\pi}}$ que se indica con $k_x\frac{d}{2\pi}$ y $k_y\frac{d}{2\pi}$ .

Answer 2

La fórmula $\dfrac{d}{2\pi}\cdot k_x$ (de la solución) significa que el valor $k_x = \dfrac{2\pi}{d}$ , por ejemplo, se asigna al punto $\dfrac{d}{2\pi}\cdot \dfrac{2\pi}{d} = 1$ en el eje horizontal, lo que es coherente con las matemáticas y el gráfico. Esto también significa que el valor del paso de la unidad en el eje horizontal es igual a $\dfrac{2\pi}{d}$ es decir, la inversa de la constante de la fórmula $\dfrac{d}{2\pi}\cdot k_x$ .

La convención para anotar los ejes de los gráficos es indicar cómo la variable original se asigna al eje. Una fórmula de $c\cdot x$ por ejemplo, donde $c$ es una constante y $x$ es la variable libre, significa que el valor $x=0$ mapas para el punto $c\cdot0 = 0$ en el eje, los valores $x = \pm 1$ mapa a puntos $c\cdot \pm1 = \pm c$ etc.

Para un ejemplo sencillo, considere el gráfico de $y=\sin(x)$ donde el eje horizontal ha sido reescalado a múltiplos de $\pi$ en lugar de radianes.

La forma de leer, por ejemplo, el punto máximo local de este gráfico es: cuando $\dfrac{x}{\pi} = 0.5$ el valor de $\sin(x)$ es $1$ . Y, efectivamente, $\dfrac{x}{\pi} = 0.5 \iff x = \dfrac{\pi}{2}$ y $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ .

De forma más general, esta reasignación de los ejes no se limita a las funciones lineales, ni se restringe al eje horizontal. Por ejemplo, gráficos logarítmicos de $y = f(x)$ parcela $\log(y)$ contra $\log(x)$ Por ejemplo aquí .