¿Son estas dos funciones en $C^{\infty}$ ?

Question

Definir la función $h(x)$ al establecer $h(x) = e^{-1/x^2}$ si $x>0$ y $0$ si $x \leq 0$ .

1. Mi pregunta es cómo puedo mostrar $h(x)$ está en $C^{\infty}$ ?

2. Dejemos que $\| \mathbf{x} \| = \max_{i=1,2} | x_i |$ . Entonces es $h(\| \cdot\|) : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ en $C^{\infty}$ ¿también?

Answer 1

La única preocupación es en el cero. Lo único que hay que hacer es demostrar que todas las derivadas existen, y son cero, considerando las derivadas de la izquierda y de la derecha.

Para tu pregunta 2, recuerda que una función de dos variables es diferenciable en un punto si ambas derivadas parciales son continuas.

Answer 2

Pista para la 2. Supongamos que $a>0.$ Para $y>0,$ la función en $(a,a+y)$ es igual a $e^{-1/(a+y)^2}.$ Pero para $y<0$ la función es sólo la constante $e^{-1/a^2}.$ Eso no tiene buena pinta para la existencia de derivadas parciales en $(a,a).$