Si $f(3x)=f(x)$ y $f$ es continua, demuestre que $f(x)$ es una función constante.

Question

Si $f(x)$ es una función continua tal que $f(3x)=f(x)$ y el dominio de $f$ son todos los números reales no negativos. Demostrar que $f$ es una función constante.

Lo que hice: $$f(3x)=f(x)=f\left(\frac{x}{3}\right)=\cdots= f\left(\frac{x}{3^n}\right)$$ Ahora como $n$ tiende al infinito, $f(\frac{x}{3^n})$ tiende a $f(0)$ y por lo tanto $f(x)=f(0)$ para todos $x$ .

Sin embargo, creo que el segundo paso es un poco dudoso. No sé muy bien cómo, ya que carezco de la suficiente madurez matemática, pero no me parece correcto. Me gustaría que alguien pudiera aportar una prueba más rigurosa del problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Para hacer este argumento un poco más formal, intente algo parecido a esto:

Supongamos (por contradicción) que $f(c) \neq f(0)$ para algunos $c \in \mathbb{R}$ . Por la continuidad de $f$ en $0$ existe un $\delta > 0$ de manera que siempre que $|x| < \delta$ , $|f(x) - f(0)|< |f(c) - f(0)|$ . Observando que $f(c) = f\left( \frac c{3^n}\right)$ podemos derivar una contradicción.

Es decir, podemos seleccionar un $n \in \mathbb{N}$ tal que $|c/3^n| < \delta$ . El hecho de que $|c/3^n| < \delta$ y $|f(c/3^n)-f(0)| = |f(c)- f(0)|$ es una contradicción de nuestra definición de $\delta$ .

Por esta contradicción, nos vemos obligados a concluir que $f(x) = f(0)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Es decir, $f$ es constante.

Answer 2

Su argumento no es para nada dudoso. $f(x)$ siendo continua en $x = 0$ equivale a la afirmación de que para todo $a_1,a_2,...$ convergiendo a $0$ uno tiene $f(a_1), f(a_2),...$ converge a $f(0)$ . Así que toma $a_n = {x \over 3^n}$ en su ejemplo.

Answer 3

Perdón por haber interpretado mal la pregunta. Tu argumento funcionaría perfectamente. Para cualquier $x\in \mathbb{R}$ tenemos $$f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(x3^{-n}) = f(\lim_{n\rightarrow \infty} x3^{-n}) = f(0)$$

Answer 4

El teorema de Rolle nos garantiza que para cada $c\in\mathbb{R^+}$ entre $\frac{c}{3}$ y $c$ , $f'$ tiene un cero.

Así, podemos encontrar para cada $x\in\mathbb{R^+}$ a $c$ para lo cual $f'(x)=0$ .

Entonces $f$ es constante.