Confusión sobre las derivadas parciales

Question

Estoy teniendo algunos problemas para entender qué debo mantener constante y qué no en ciertos casos cuando tomo derivadas parciales. Específicamente en este tipo de situación: digamos que tenemos una función

$$f(x,y) = x^3+7y^2$$

y también sabemos que $y=2x+1$ y necesitamos encontrar la derivada parcial con respecto a $x$ en un punto determinado, digamos $\frac{\partial f(2,3)}{\partial x}$ . Por lo que entendí, cuando se toman derivadas parciales con respecto a una variable, hay que mantener la otra constante, en cuyo caso, si hago eso de arriba (manteniendo $y$ constante) yo me quedaría, $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=3x^2$ , por lo que obtengo $12$ . Sin embargo, si conecto $x$ en $y$ explícitamente obtendría $$f(x,y) = x^3+7(2x+1)^2$$ Así que..,

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=3x^2+28(2x+1)$$

Por lo tanto, tengo $152$ . ¿Qué debo hacer? Gracias.

Answer 1

Dividimos la tarea en dos partes. En primer lugar, nos ocupamos de obtener una derivada parcial con respecto a $x$ . A continuación, consideramos la evaluación en el punto específico $(2,3)$ .

Regla de la cadena revisada: Para ver mejor lo que ocurre, consideraremos una situación algo más general y luego veremos cómo encaja el caso especial de OP en este escenario.

Comenzamos con la función de valor real OPs $f$ , a saber \begin{align*} &f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\\ &f(x,y)=x^3+7y^2\tag{1} \end{align*}

Ponemos la relación $y=2x+1$ en un contexto ligeramente más general, lo que podría ayudar a hacer más plausible la aplicación de la regla de la cadena. Consideramos $x$ y $y$ como funciones de una variable $t$ : \begin{align*} x&=x(t)=t\\ y&=y(t)=2t+1\tag{2} \end{align*} y definir una nueva función de valor real $\varphi$ como \begin{align*} &\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &\varphi(t)=f(x(t),y(t))\tag{3} \end{align*}

Ahora podemos escribir \begin{align*} \varphi(t)=f(x(t),y(t))=f(t,2t+1)\tag{4} \end{align*} y tener la misma situación que OP cuando está utilizando la relación $y=2x+1$ y tomando $f(x,y(x))=f(x,2x+1)$ . La ventaja es que ahora podemos aplicar la regla de la cadena utilizando una derivación conocida:

Por un lado, obtenemos de (1) - (3): \begin{align*} \color{blue}{\frac{d\varphi}{dt}} &=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}\\ &=3\left(x(t)\right)^2\cdot 1+14y(t)\cdot 2\\ &=3t^2+14(2t+1)\cdot 2\\ &\,\,\color{blue}{=3t^2+56t+28}\tag{5} \end{align*}

por otro lado obtenemos de (4): \begin{align*} \color{blue}{\frac{d\varphi}{dt}} &=\frac{d}{dt}f(t,2t+1)\\ &=\frac{d}{dt}\left(t^3+7(2t+1)^2\right)\\ &=3t^2+28(2t+1)\\ &\,\,\color{blue}{=3t^2+56t+28}\tag{6} \end{align*} de acuerdo con (5).

Conclusión: Concluimos de (5) y (6) que la siguiente derivación de OP es válida: \begin{align*} \color{blue}{\frac{d}{d x}f(x,y(x))=3x^2+28(2x+1)} \end{align*}

Evaluación en $(2,3)$ :

Consideramos que $f(x,y)=x^3+7y^2$ como en el caso anterior y evaluar la derivada parcial wrt $x$ en $(x,y)=(2,3)$ . Obtenemos así \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\Bigg|_{(x,y)=(2,3)}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^3+7y^2\right)\Bigg|_{(x,y)=(2,3)}\\ &=\left(3x^2\right)\Bigg|_{(x,y)=(2,3)}\\ &=12 \end{align*} pero esto es completamente independiente de la regla $y=2x+1$ . De hecho, no se puede relacionar convenientemente con la evaluación en un punto $(x,y)=(2,3)$ ya que este punto no es un elemento de la línea $y=2x+1$ .

Answer 2

La respuesta es que depende (ligeramente) de la intención del problema. Cuando leo el problema tal y como lo has escrito, veo esto:

Dado que $y = 2x+1$ y $f(x,y) = x^{3} + 7y^{2},$ calcular $\frac{\partial f(2,3)}{\partial x}$ .

En esa declaración, interpreto esto como $f$ es una función de dos variables, $x$ y $y$ y se nos pide que calculemos $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y evaluar el resultado en $(x,y) = (2,3)$ . En este caso, el hecho de que $y$ depende de $x$ no es relevante, porque como $f$ depende explícitamente de $x$ y $y$ , $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ media mantener $y$ constante y diferenciar con respecto a $x$ . Eso nos da $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^{2}\implies \frac{\partial f(2,3)}{\partial x} = 12.$$

Ahora bien, si en lugar de ello el problema se planteara como

Dado que $y = 2x+1$ y $f(x,y) = x^{3} + 7y^{2},$ calcular la tasa de variación total de $f$ con respecto a $x$ en $(2,3)$ .

En este caso, yo interpretaría el problema como una petición de derivado total que tiene en cuenta las dependencias entre las variables. En este caso, su respuesta sería $$\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} = 3x^2+28(2x+1) \implies \frac{df}{dx}(2,3) = 152.$$

Si el problema original pide efectivamente $\frac{\partial f(2,3)}{\partial x}$ entonces diría que la primera interpretación es correcta. Si usted mismo añade esa notación, puede ser que la segunda interpretación sea la correcta.

Answer 3

Definitivamente es importante hacer algunas distinciones con la notación. Dada una función ${f(x,y)}$ entonces ${\frac{\partial f}{\partial x}}$ significa "tratar $y$ como una constante, ¿cuál es la derivada de $f$ con respecto a ${x}$ ?" <- esto no es, por sí solo, necesario para saber cómo $f$ cambios en general con respecto a $x$ . Para saber esto, debemos utilizar la regla de la cadena multivariable, que es: $$ \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} $$ aviso si ${\frac{dy}{dx}=0}$ es decir ${x}$ y ${y}$ son independientes, entonces ${\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}}$ (es decir, la derivada parcial nos dice todo lo que necesitamos saber sobre cómo $f$ cambios con respecto a $x$ ).