Prueba de Char(R)

Question

Supongamos que tenemos un anillo $R$ tal que $char(R)$ = $k$ con $k>0$ .

(a) Que $p=mk$ , donde $m\in \mathbb{Z}$ . Demostrar que $px=0_R$ para todos $x\in R$ . [Recuerda que $p$ es un número entero y $x$ es un elemento del anillo].

Creo que, como $k$ es $Char(R)$ es cierto que $kx=0_R$ para todos $x\in R$ . Entonces suponga $p=mk$ , quieren mostrar $px=0_R$ En otras palabras, mostrar $mkx=0 _R$ (??) Entonces, sabemos $kx=0_R$ Así que $m\cdot 0_R=0_R$ ¿no es así?

(b) Supongamos que $px=0_R$ para todos $x\in \mathbb{Z}$ . Demostrar que $p=mk$ para algunos $k\in \mathbb{Z}$ [Usa el algoritmo de la división]

Necesito algunas pautas aquí. Gracias.

Answer 1

Estás de acuerdo con la primera pregunta. Para b), divide $p$ por $k$ obteniendo $p=kq+r$ donde $0\leq r<k$ . Entonces $px=0$ implica $(kq+r)x = kqx +rx= rx=0$ . Por la definición de la característica ser $k$ no puede haber ningún número entero no nulo $r<k$ satisfaciendo $rx=0$ para todo x\ en R, por lo tanto $r$ debe ser cero, por lo que $p=qk$ .

Nota: Deberías tener más cuidado con tus anotaciones. Además, dado que el char. es cero o un primo (como se señala en los comentarios, asumiendo $R$ es un dominio integral), la gente suele denotar el char. de un anillo como $p$ .