Función continua o diferenciable pero no continua de Lipschitz

Question

1. ¿Cuál es una función de valor real que es continua en un intervalo cercano pero no es continua de Lipschitz en ningún subintervalo?

2. ¿Cuál es una función de valor real que es diferenciable en un intervalo cercano pero no es continua de Lipschitz en ningún subintervalo?

Answer 1

Continua y en ninguna parte Lipschitz

Un ejemplo de ello es el Función de Weierstrass que es continua y no diferenciable en ninguna parte. Esto se puede justificar de dos maneras:

• Una función Lipschitz es diferenciable en casi todas partes, por Teorema de Rademacher .

• Inspección directa de la prueba de que la función no es diferenciable en ninguna parte; las estimaciones utilizadas en la prueba también implican que no es Lipschitz en ninguna parte ( $|f(x+h)-f(x)|$ se estima desde abajo por $|h|^\alpha$ con $\alpha<1$ para ciertos $x,h$ ).

Diferenciable y en ninguna parte Lipschitz

No existen tales ejemplos: una función diferenciable en un intervalo debe ser Lipschitz en algún subintervalo. Lo que sigue es una adaptación de una parte de Respuesta de PhoemueX .

1. La función $f'$ es un límite puntual de funciones continuas: a saber $$f'(x) = \lim_{n\to\infty} n(f(x+1/n)-f(x))$$ donde para cada $n$ la expresión bajo el límite es continua en $x$ .

2. El punto 1 implica que $f'$ es continua en algún punto $x_0$ . Esto es una consecuencia de un teorema sobre funciones de Clase 1 de Baire : ver esta respuesta para las referencias.

3. Continuidad en $x_0$ implica $f'$ está acotado en algún intervalo $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ . El teorema del valor medio implica entonces que $f$ es Lipschitz en este intervalo.