¿Diferencia entre "espacio" y "estructura matemática"?

Question

Estoy tratando de entender la diferencia entre un "espacio" y una "estructura matemática".

He encontrado la siguiente definición de estructura matemática:

Una estructura matemática es un conjunto (o a veces varios conjuntos) con varios objetos matemáticos asociados, como subconjuntos, conjuntos de subconjuntos, operaciones y relaciones, todos los cuales deben satisfacer varios requisitos (axiomas). El conjunto de objetos matemáticos asociados se llama estructura y el conjunto se llama conjunto subyacente. http://www.abstractmath.org/MM/MMMathStructure.htm

La Wikipedia dice lo siguiente:

En matemáticas, una estructura sobre un conjunto, o más generalmente un tipo, consiste en objetos matemáticos adicionales que de alguna manera se adjuntan (o relacionan) con el conjunto, facilitando su visualización o trabajo, o dotando al conjunto de sentido o significado. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure

Con respecto a un espacio, Wikipedia dice:

En matemáticas, un espacio es un conjunto con alguna estructura añadida. http://en.wikipedia.org/wiki/Space_(matemáticas)

También he encontrado algunas preguntas relacionadas, pero no entiendo de ellas cuál es la diferencia entre un espacio y una estructura matemática:

diferencia-entre-espacio-y-estructura-algebraica

qué-significa-un-espacio

Answer 1

Ninguna de estas palabras tiene una única definición matemática. Las palabras inglesas pueden utilizarse básicamente en las mismas situaciones, pero a menudo se piensa en un "espacio" como algo más geométrico y en una "estructura" como algo más algebraico. La mejor aproximación a un "espacio" general para muchos propósitos es un espacio topológico, pero Grothendieck generalizó más que eso, a lo que se llama topoi.

En la teoría de modelos, una "estructura" es un conjunto en el que podemos interpretar algún lenguaje lógico, es decir, un conjunto con algunos elementos distinguidos y algunas funciones y relaciones sobre él. Algunos de los lenguajes más comunes que interpretan las estructuras son los de los grupos, anillos y campos, que no tienen relaciones, las funciones son la suma y/o la multiplicación, y los elementos distinguidos de identidad para esas operaciones. También tenemos el lenguaje de conjuntos parcialmente ordenados, que tiene la relación $\leq$ y ni funciones ni constantes.

Así que se podría pensar en las "estructuras" como lugares donde hacemos álgebra, y en los "espacios" como lugares donde hacemos geometría. Así, muchas de las grandes matemáticas han surgido al pasar de las estructuras a los espacios y viceversa, como cuando observamos el grupo fundamental de un espacio topológico o el espectro de un anillo. Pero al final, la distinción no es ni dura ni rápida y sólo llega hasta cierto punto: muchas cosas son obviamente tanto estructuras como espacios, algunas cosas no son obviamente ninguna de las dos cosas, y algunas personas podrían estar en desacuerdo con todo lo que he dicho aquí.

Answer 2

En mi opinión, la estructura es la forma más general de añadir sustancia a un conjunto. Un espacio suele referirse a algo que ha sido topologizado, es una forma de añadir estructura.

La estructura matemática tiene dos formas: la algebraica y la topológica. Las estructuras topológicas permiten saber cómo está compuesto el conjunto por subconjuntos especiales y, por tanto, nos dicen algo sobre las relaciones entre las partes y el conjunto. La estructura algebraica indica cómo los elementos pueden interactuar entre sí y, por tanto, en cierto sentido, cómo se relacionan unas partes con otras.

En cierto sentido, estas "estructuras" son el andamiaje sobre el que se construyen las matemáticas. Es el lenguaje que utilizamos para describir los fenómenos matemáticos, y nos equipa con una forma de razonar sobre algunas abstracciones, y a menudo el mero hecho de investigar los aspectos relativamente simples de nuestro andamiaje puede ser una tarea enorme. Por esta razón, es literalmente la "estructura" de la asignatura.

Answer 3

No estoy seguro de que deba tener razón. Diferentes personas tienen diferentes ideas. Aquí sólo hablo de mi idea para tu pregunta. En mi opinión, son lo mismo: el conjunto con alguna relación entre los elementos del conjunto. Llamarlo espacio o llamarlo sólo estructura matemática es sólo un tipo de costumbre de la gente.

Answer 4

Una estructura matemática es un conjunto o conjuntos asociados con algún objeto matemático (s) como una operación binaria, la colección de sus subconjuntos, etc que satisfacen algunos axiomas. el objeto matemático (s) se llama estructura y el conjunto se llama conjunto base o subyacente. ejemplo estructura topológica (X, tau) aquí tau es la estructura y x es el conjunto subyacente... de forma similar estructura algebraica (x,*) ahora un espacio es una estructura matemática donde la estructura es de tipo geométrico .por ejemplo (x,tau) aquí tau es un estructurador de tipo geométrico por lo que es un espacio llamado espacio topológico.

Answer 5

Soy un fanático del lenguaje Wolfram. Sé que no es matemático, pero ofrece unas estructuras impresionantes. Por ejemplo este gráfico de relaciones. El gráfico muestra las relaciones entre las clasificaciones espaciales

Esto muestra no que el conjunto es ya una estructura con objetos. Un conjunto puede ser tan complejo como lo son los universos de Tarski-Grothendiek. Hay atributos dados a las clases de espacio que son taxonómicos como compacto, completo, local, convexo y cuasi-. El prefijo cuasi- muestra un gran dilema en la clasificación de los espacios. No es necesario en la properidad, la sobriedad o similares. La orientación no es nítida.

Este gráfico está corrupto y dañado. Se espera que cada flecha muestre una etiqueta. Por este hecho otro problema en la presentación de los conocimientos en la orientación de la sistematización no hay tiempo suficiente para reunirlos todos y hay tantas propiedades disponibles. El intento de no trabajar con nombres sino, por ejemplo, con ejemplos populares tiene aún más problemas porque las definiciones son claras y los ejemplos populares no suelen serlo. Y muchos espacios bien distinguidos no son populares y por lo tanto no son fáciles de entender en la orientación de uso.

El gráfico representa la noción matemática del espacio. La noción física del espacio es diferente a ésta.

Las ideas actuales del ser humano sobre el espacio son muy diversas e incluyen muchas contradicciones e incompatibilidades. Así, a partir de la presencia de objetos o ideas para los métodos matemáticos un conjunto y un espacio pueden ser todo. Incluso la idea de espacio vacío se incluye a pesar de no ser el gráfico.

Las causas son matemáticamente duras y a menudo utilizan la lógica, incluso la especializada, en cuestión. Las ideas más abstractas son las que provienen de los estructuralistas como Bourbaki. Éstas son objeto de numerosas críticas porque la estructura no siempre se considera algo positivo o deseable. Puede dificultar la resolución de problemas o incluso impedir las soluciones. El espacio, los conjuntos, la estructura se juntan y en el momento en que se pueden distinguir estos se presentan los problemas. El espacio vacío, finito o en varios tipos infinito está causando problemas.