comprensión de la cadena de markov homogénea en el tiempo

Question

¿Podría alguien ayudarme a entender la definición de la página 7 definición 2.25 aquí ? No entiendo la notación $(P(a))(A)$ - ¿qué significa esto?

Además, ¿es $P(a, A)$ una medida de probabilidad del conjunto de todos los conjuntos Borel de $X$ a $[0,1]$ ?

Creo que $P$ es una función de $X \times B(X)\to [0,1]$ ?

¿Es esto cierto?

Answer 1

Si nos atenemos estrictamente a lo que dice la definición 2.25 del enlace, $P$ es una función $P : \mathcal{X} \to \mathcal{P}(\mathcal{X})$ , donde $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ es el espacio de medidas de probabilidad sobre $(\mathcal{X}, \mathscr{B}(\mathcal{X}))$ (presumiblemente $\mathcal{X}$ es un espacio topológico y $\mathscr{B}(\mathcal{X})$ es el $\sigma$ -de subconjuntos de Borel de $\mathcal{X}$ Pero no he leído las notas para comprobar si eso es cierto). Eso significa que para cada $a \in \mathcal{X}$ , $P(a)$ es una medida de probabilidad sobre $(\mathcal{X}, \mathscr{B}(\mathcal{X}))$ por lo que para cada $A \in \mathscr{B}(\mathcal{X})$ , $(P(a))(A)$ es un número entre $0$ y $1$ .

Puedes pensar en $P$ como una "medida de probabilidad aleatoria" si se equipa $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ con un $\sigma$ -álgebra que hace $P$ una función medible. Normalmente, esto se hace dotando $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ con el $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{H}$ que es el más pequeño $\sigma$ -tal que para cada $B \in \mathscr{B}(\mathcal{X})$ el mapa $Q \mapsto Q(B)$ de $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ a $[0, 1]$ es medible (es decir, $\mathcal{H}$ es generado por todos esos mapas). De esta manera, $P : \mathcal{X} \to \mathcal{P}(\mathcal{X})$ es una función medible, por lo que es un "elemento aleatorio" de $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ .

El enfoque de la medida de probabilidad aleatoria es una forma de definir la probabilidad de transición $P$ . Otro enfoque es el uso de los llamados núcleos de transición (también conocidos como núcleos de Markov, etc.).

Si $(\mathcal{X}, \mathcal{F})$ y $(\mathcal{Y}, \mathcal{G})$ son dos espacios de medida, entonces a núcleo de transición de $(\mathcal{X}, \mathcal{F})$ a $(\mathcal{Y}, \mathcal{G})$ es una función $Q : \mathcal{X} \times \mathcal{G} \to [0, 1]$ tal que

1. para cada $x \in \mathcal{X}$ el mapa $Q(x, \cdot) : \mathcal{G} \to [0, 1]$ es una medida de probabilidad sobre $(\mathcal{Y}, \mathcal{G})$ y
2. para cada $G \in \mathcal{G}$ el mapa $Q(\cdot, G) : \mathcal{X} \to [0, 1]$ es $\mathcal{F}$ -Medible.

Dado un núcleo de transición $Q$ de $(\mathcal{X}, \mathcal{F})$ a $(\mathcal{Y}, \mathcal{G})$ podemos definir una medida aleatoria $P : \mathcal{X} \to \mathcal{P}(\mathcal{Y})$ , donde $\mathcal{P}(\mathcal{Y})$ representa el espacio de medidas de probabilidad en $(\mathcal{Y}, \mathcal{G})$ definiendo $$ (P(a)(A)) = Q(a, A) $$ para cada $a \in \mathcal{X}$ y $A \in \mathcal{G}$ . A la inversa, dada una medida aleatoria $P : \mathcal{X} \to \mathcal{P}(\mathcal{Y})$ podemos definir un núcleo de transición $Q$ de $(\mathcal{X}, \mathcal{F})$ a $(\mathcal{Y}, \mathcal{G})$ por la misma relación. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre las medidas de probabilidad aleatorias y los núcleos de transición.

Por ello, es habitual utilizar una notación como $P(a, A)$ cuando $P$ es una medida de probabilidad aleatoria que representa $(P(a))(A)$ la notación $P(a, A)$ es más fácil de leer, y realmente no estás haciendo nada malo al tratar la medida de probabilidad aleatoria como un núcleo de transición.

Answer 2

En la cadena de markov homogénea la dinámica del sistema no cambia con el tiempo, creo que sería sólo la expresión del núcleo de transición que se fija con el tiempo.

Tal vez el teclear en este libro de texto sería más expresivo: