Si nos atenemos estrictamente a lo que dice la definición 2.25 del enlace, P es una función P:X→P(X) , donde P(X) es el espacio de medidas de probabilidad sobre (X,B(X)) (presumiblemente X es un espacio topológico y B(X) es el σ -de subconjuntos de Borel de X Pero no he leído las notas para comprobar si eso es cierto). Eso significa que para cada a∈X , P(a) es una medida de probabilidad sobre (X,B(X)) por lo que para cada A∈B(X) , (P(a))(A) es un número entre 0 y 1 .
Puedes pensar en P como una "medida de probabilidad aleatoria" si se equipa P(X) con un σ -álgebra que hace P una función medible. Normalmente, esto se hace dotando P(X) con el σ -Álgebra H que es el más pequeño σ -tal que para cada B∈B(X) el mapa Q↦Q(B) de P(X) a [0,1] es medible (es decir, H es generado por todos esos mapas). De esta manera, P:X→P(X) es una función medible, por lo que es un "elemento aleatorio" de P(X) .
El enfoque de la medida de probabilidad aleatoria es una forma de definir la probabilidad de transición P . Otro enfoque es el uso de los llamados núcleos de transición (también conocidos como núcleos de Markov, etc.).
Si (X,F) y (Y,G) son dos espacios de medida, entonces a núcleo de transición de (X,F) a (Y,G) es una función Q:X×G→[0,1] tal que
- para cada x∈X el mapa Q(x,⋅):G→[0,1] es una medida de probabilidad sobre (Y,G) y
- para cada G∈G el mapa Q(⋅,G):X→[0,1] es F -Medible.
Dado un núcleo de transición Q de (X,F) a (Y,G) podemos definir una medida aleatoria P:X→P(Y) , donde P(Y) representa el espacio de medidas de probabilidad en (Y,G) definiendo (P(a)(A))=Q(a,A) para cada a∈X y A∈G . A la inversa, dada una medida aleatoria P:X→P(Y) podemos definir un núcleo de transición Q de (X,F) a (Y,G) por la misma relación. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre las medidas de probabilidad aleatorias y los núcleos de transición.
Por ello, es habitual utilizar una notación como P(a,A) cuando P es una medida de probabilidad aleatoria que representa (P(a))(A) la notación P(a,A) es más fácil de leer, y realmente no estás haciendo nada malo al tratar la medida de probabilidad aleatoria como un núcleo de transición.