Cómo expresar cualquier elemento de $A_n$

Question

Sé que $A_n$ es generado por $3-$ ciclos; pero si tomo cualquier elemento de $A_n$ ¿Cómo puedo escribirlo?

¿Es que algún elemento de $A_n$ puede expresarse como un producto de $3-$ ciclos que significa es cierto que cualquier elemento de $A_n$ es de la forma

$(a_1 a_2 a_3)(a_4,a_5,a_6)$ o $(a_1a_2a_3)(a_1a_4a_5)$ o $(a_1a_2a_3)(a_1a_2a_4)$ o $(a_1a_2a_3)(a_2a_1a_4)$ o $(a_1a_2a_3)$

Answer 1

La construcción viene dada por la siguiente prueba (esquema):

Sabemos que cualquier permutación puede expresarse como un producto de transposiciones y sabemos cómo hacerlo. Si $g \in A_n$ entonces $g$ es una permutación par. Como las transposiciones son Impares, esto significa que $g$ puede expresarse como un producto número par de transposiciones.

Ahora vemos todos los posibles productos de dos transposiciones (se reduce a tres casos) y mostramos cómo expresar cada par como un producto de (de hecho a lo sumo tres) $3$ -ciclos.

Editar: Está claro que no hay unanimidad en cuanto a la pregunta... Esto es lo que he respondido. Si se le da un elemento de $A_n$ , digamos que $(1 \ 2)(3 \ 4)$ o $(1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5) \in A_5$ entonces la construcción anterior te dice cómo expresar el elemento como el producto de algún número finito de $3$ -ciclos.

Answer 2

No, no es cierto. El grupo $A_n$ es generado por $3$ -pero esto no significa que cada elemento sea el producto de sólo uno o dos $3$ -ciclos. Por ejemplo, consideremos el elemento $(123)(456)(789)$ en $A_9$ . Para un análisis detallado, véase también Cómo demostrar que los 3 ciclos $(2n-1,2n,2n+1)$ generan el grupo alterno $A_{2n+1}$ .