Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:
Dejemos que c \in \mathbb{R}^n y A \in \mathbb{R}^{m*n} . Para un número arbitrario de b \in \mathbb{R}^m consideramos el siguiente problema (P_b) :
min_{x \in \mathbb{R}^n} c^Tx
\text{such that } Ax = b, x \ge 0
Que además sea B una base de A . Establecemos x(B,b) como la única solución del sistema de ecuaciones lineales: Ax = b, x_i = 0 \ (\forall i \not \in B ) . Sabemos que el mapeo b \mapsto x(B,b) es continua.
Que ahora sea \overline{b} \in \mathbb{R}^m . Hacemos las siguientes suposiciones:
- El problema (P_{\overline{b}}) tiene una solución única \overline{x} y hay una base única \overline{B} tal que \overline{x} = x(\overline{B},\overline{b}) . Para todos los i \in \overline{B} tiene \overline{x}_i > 0 .
- Hay un número \epsilon_0 > 0 tal que para todo b \in \mathbb{R}^m con \| b - \overline{b} \| \le \epsilon_0 el problema (P_b) tiene una solución.
Demuestre que hay un \epsilon >0 tal que para todo b \in \mathbb{R}^m con \| x - \overline{x} \| \le \epsilon el punto x(\overline{B},b) es una solución a (P_b) .
Mi idea sería utilizar, la continuidad de la cartografía b \mapsto x(B,b) con el punto 2) para mostrar desde \| b - \overline{b} \| \le \epsilon_0 que \| x - \overline{x} \| \le \epsilon pero no sé cómo elegir \epsilon para poder decir que \| x - \overline{x} \| es efectivamente menor o igual a \epsilon . Tampoco entiendo por qué la solución tiene que tener la forma x(\overline{B},b) . ¿Podría darme una pista?