Pregunta de definición de la Cuantificación Universal

Question

Tengo una pregunta sobre cómo se define el cuantificador universal. Introducción a la Metamatemática de la Iglesia define la cuantificación universal como " $\forall x$ __ es Verdadero si el valor de __ es Verdadero para todos los valores de x" y que " $\forall x$ __ es Falso si el valor de __ es Falso para cualquier valor de x. Estoy asumiendo que "todos los valores de x" significa el dominio del discurso, que es el universo para el sistema actual. Frege Begriffsschrift afirma que $\forall x P(x)$ "sea cual sea el argumento que tomemos, la función es un hecho" y esto es similar a la definición de Church.

wiki define la cuantificación como "un cuantificador especifica la cantidad de ejemplares en el dominio del discurso que satisfacen una fórmula abierta". Esta definición es diferente de las anteriores, ya que sugiere que se eligen elementos del DOD para satisfacer una fórmula abierta. Sospecho que esto significa $\forall x$ debe ser siempre verdadera, ya que sólo se seleccionan los elementos del DOD que satisfacen la fórmula para ser sustituidos por $x$ . ¿Es correcta esta definición de la wiki?

Dada la Iglesia y Frege definiciones para la cuantificación, esta fórmula sería falsa porque todas $n$ del DOD no pueden ser miembros de $\mathbb{N}$ ?

$\forall n\in \mathbb{N} P(n)$

que se puede escribir: $\forall n (n \in \mathbb{N} \land P(n))$

o es el $\forall n \in \mathbb{N}$ ¿Qué especifica el DOD? ¿Qué especifica el DOD?

Answer 1

En la matemática ordinaria, el dominio del discurso se expresa en un enunciado como éste "para todo $x \in A$ la propiedad $P(x)$ sostiene". Se puede traducir esto como "para todos $x$ , si $x \in A$ entonces la propiedad $P(x)$ se mantiene", que puede escribirse como $$\forall x, \, x \in A \implies P(x) $$ Tenga en cuenta que esto es no equivalente a lo que usted sugirió en su post, es decir $x \in A \land P(x)$ . El conector lógico correcto es la implicación $\implies$ y no la conjunción $\land$ .

Tenga en cuenta que no es necesario expresar un dominio del discurso, sin embargo es muy comúnmente hecho en las matemáticas ordinarias.

Answer 2

La forma correcta de pasar de cuantificadores restringidos a cuantificadores no restringidos es \begin{align}\forall x\in A, P(x)&\equiv \forall x, (x\in A\to P(x))\equiv \forall x,(P(x)\lor \neg x\in A)\\ \exists x\in A, P(x)&\equiv \exists x,(x\in A\land P(x))\end{align}

Esto abarca el lenguaje natural, el uso ordinario en matemáticas y básicamente todo (posiblemente incluso alguna verdad material).