Transformación lineal que es como una proyección

Question

Me dan una transformación lineal $\;T:V\to V\;$ con $\;V\;$ espacio lineal sobre campo $\;F\;$ y con $\;\dim\text{Im}\,T=1\;$ .

Me piden que demuestre que existe un escalar $\;c\in F\;$ tal que $\;T\circ T=cT\;$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora: Desde

$$\;\dim\text{Im}\,T=1\implies \text{Im}\,T=\text{Span}\,\{w\}=:W\;\;,\;\;0\neq w\in V\;$$ Esto para mí es como la proyección de $\;V\;$ en un espacio unidimensional, pero no puedo encontrar esa $\;c\;$ . Pensé que

$$v\in V\implies Tv\in W\implies \exists\; c_v\in F\;\;s.t.\;\;Tv=c_vw$$

pero luego tengo problemas cuando lo hago

$$\color{red}{T\circ T(v)}=T(c_vv)=c_vTv=c_v^2w\stackrel{??}=\color{red}{cTv}=cc_vw$$

cómo puedo ir a conseguir ese escalar fijo $\;c\;$ para todos los vectores en $\;V\;$ ?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Utiliza eso $w$ es un vector propio de $~T$ (su extensión es un $T$ -invariante, es decir, la imagen de $T$ ). El valor propio correspondiente le da su $c$ .

Si no conoces el término eigenvector, que $w$ es un vector propio de $~T$ sólo significa que $T(w)$ se encuentra en el lapso de $\{w\}$ . Esto es obvio, porque ese lapso es la imagen de $~T$ . Pero la consecuencia es que hay algún escalar $c$ tal que $T(w)=cw$ . Desde $w\neq0$ sólo puede haber una $~c$ . Esa es su $c$ .

Ahora considera cualquier otro vector. De nuevo $T(v)$ es un múltiplo escalar de $~w$ aunque probablemente uno diferente; digamos $T(v)=dw$ . Ahora trata de demostrar que $T(T(v))=cT(v)$ para el escalar $c$ obtenido de $~w$ e independientemente de $d$ . Es bastante fácil. Esto demuestra que $T\circ T=cT$ .

Ver también esta respuesta .

Answer 2

Tome una base para el núcleo de $T$ y se extienden a una base de $V$ . Ahora argumenta que la extensión sólo requirió 1 vector adicional (si $V$ es de dimensión finita esto se deduce de la nulidad de rango, pero incluso si $V$ es infinitamente dimensional esto sigue siendo válido, la prueba se deja para el final).

Ahora para ver que $T\circ T = c T$ para algunos $c$ , observe que tenemos $V= \text{Ker } T \oplus v$ donde wlog podemos suponer $Tv=w$ (ya que $T\neq 0$ ). Para $k\in \text{Ker T}$ tenemos $T(k+av)=aw$ . Escribe $w=k'+bv$ donde $k'\in \text{Ker } T$ . Entonces $T(aw)=abw$ . Por lo tanto, $T\circ T= b T$ ya que podemos dividir por $a$ si $a\neq 0$ y cuando $a$ es cero, $T\circ T$ y $T$ aplicado a $k+0v$ son ambos cero, por lo que la ecuación sigue siendo válida. Esto completa la prueba.

ADDENDUM: Una prueba de la afirmación del primer párrafo en el caso dimensional infinito sería mostrar que dos vectores cualesquiera que no están en el núcleo tienen alguna combinatoria lineal en el núcleo; supongamos $v,u$ son tales que $Tv=aw$ y $Tu=bw$ donde $a,b\neq 0$ . Entonces $Tv/a-Tu/b=0$ y por lo tanto $v/a-u/b$ está en el núcleo de $T$ .

Answer 3

$T:Im(T)\to Im(T)$ es lineal y como $\dim(Im(T))=1$ es igual a la multiplicación por un escalar ( $T(x)=cx$ para algún escalar $c$ y todos $x\in Im(T)$ ).

De hecho, si $Im(T)=span(w)$ entonces para cada $x\in Im(T)$ hay un escalar $a_x$ tal que $x=a_xw$ . Por linealidad $T(x)=T(a_xw)=a_xT(w)=a_xcw=cx$ , donde $c$ es el único escalar tal que $T(w)=cw$ .

Entonces, en particular, ya que $\forall x\in V,\ T(x)\in Im(T)$ obtenemos $\forall x\in V,\ T(T(x))=cT(x)$ .

Answer 4

Desde $V/\ker T\simeq\text{Im}T$ ， tenemos $\dim(V/\ker T)=1$ por lo que hay un $u\in V$ tal que $V=\langle u\rangle+\ker T=V$ . Desde $u\notin\ker T$ , $Tu\neq0$ . Porque $\dim\text{Im}T=1$ existe un $c\in F$ De tal manera que $T(Tu)=cTu$ . Entonces $\;T\circ T=cT\;$ (Esta ecuación es válida para $v\in\langle u\rangle$ y $v\in\ker T$ por lo tanto, es válida para $v\in V$ ).

Answer 5

Estuviste a punto, pero como dijo Marc van Leeuwen en los comentarios que escribiste $T\circ T(v)=T(c_vv)$ cuando necesitabas $T(c_vw)$ en su lugar. Si se arregla esto, el método funcionará inmediatamente: $$T\circ T(v)=T(c_vw)=c_vTw=c_vc_ww=c_wc_vw=c_wTv$$ y $c_w$ es constante al variar $v$ .