Probando $\operatorname{coker}(f^*) \cong (\ker f)^*$ para un mapa lineal $f$

Question

Dejemos que $f: V \to W$ sea lineal y $V, W$ sean espacios vectoriales de dimensión finita. Quiero demostrar que el cokernel, definido por $\operatorname{coker}(f^*) := V^* / \operatorname{im}(f^*)$ es isomorfo a $(\ker f)^*$ .

Ya intenté utilizar el teorema del rango y la nulidad

$$\dim \operatorname{coker} f^* = \dim V^* - \dim \operatorname{im}f^* \iff \dim V^* = \dim \operatorname{coker} f^*+\dim \operatorname{im}f^*$$

y tal vez uno podría mostrar $\dim \operatorname{im} f^* = \dim \operatorname{im}f$ y por lo tanto

$$\dim \operatorname{coker} f^* = \dim \ker f = \dim (\ker f)^*.$$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que las dimensiones de las imágenes de $f$ y $f^*$ y las dimensiones de $\ker f$ y $(\ker f)^*$ son iguales? ¿Es esta la forma correcta de demostrarlo?

Answer 1

Definir $\Phi: V^*\to (\ker f)^*$ por $\Phi(x^*)=x^*|_{\ker f}$ para todos $x^*\in V^*$ . Es fácil ver que $\Phi$ es un mapa lineal suryente. Ahora bien, si $x^*= f^*(y^*)$ para algunos $y^*\in W^*$ entonces $x^*|_{\ker f}(x)=y^*(f(x))=y^*(0)=0$ para todos $x\in \ker f$ .

Ahora, supongamos que $x^*|_{\ker f}(x)=0$ para todos $x\in\ker f$ . Sea $\mathcal{B}$ sea una base de $\text{im}(f)$ y $\mathcal{B}'$ ser una base de $W$ que contiene $\mathcal{B}$ . Definir $y^*(y)=x^*(x)$ si $y\in \mathcal{B}$ y $y=f(x)$ y $y^*(y)=0$ si $y\in\mathcal{B}'\setminus\mathcal{B}$ . A continuación, extienda $y^*$ a la todo $W$ por linealidad. De ello se desprende que $y^*$ es una función lineal bien definida funcional lineal en $W^*$ . Además, debería ser fácil verificar que $f^*(y^*)=x^*$ . Así, $\ker \Phi={\rm im}(f^*)$ . Ahora, utiliza el primer teorema del isomorfismo para concluir.

Answer 2

Intenta echar un vistazo al mapa de restricciones $V^*\to (\operatorname{ker} f)^*$ y demostrar que es un factor de un mapa $\operatorname{coker}(f^*)\to (\operatorname{ker} f)^*$ .

Entonces puedes utilizar argumentos de dimensión para demostrar que es un isomorfismo.