Sé que esto es cierto, pero ¿cómo puedo demostrarlo? Específicamente, estoy tratando de calcular la cohomología de Rham de la 3-esfera usando la secuencia de Mayer-Vietoris y cubriendo $S^3$ con dos conjuntos hemisféricos $U, V$ , de tal manera que $U$ se cruza con $V$ en una "2-banda", una banda ecuatorial homotópica a una 2-esfera.
Respuesta
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Definición: dos mapas suaves $f,g:M\rightarrow N$ son suavemente homotópicas si existe $H:M\times\mathbb R\rightarrow N$ suave como $H(\cdot,t)=f$ para $t\le 0$ y $H(\cdot,t)=g$ para $t\ge 1$ .
Teorema: si $f,g:M\rightarrow N$ son suavemente homotópicas entonces sus pullback son iguales en la cohomología de Rham (es decir $f^*=g^*:H^*(N)\rightarrow H^*(M)$ ).
Para una demostración de este teorema, véase, por ejemplo, Bott&Tu
Lema 1: si $f:M\rightarrow N$ es continua, entonces $f$ es (continuamente) homotópico a un mapa suave.
Lema 2: si dos mapas suaves $f,g:M\rightarrow N$ son continuamente homotópicas entonces son suavemente homotópicas.
Para demostrar estos lemas, puedes incrustar tus variedades en $\mathbb R^n$ espacios. Si recuerdo bien, se hace en From Calculus to Cohomology de Ib Henning Madsen y Jørgen Tornehave.
Podemos empezar a divertirnos:
Teorema: un mapa continuo $f:M\rightarrow N$ induce un retroceso $f^*:H^*(N)\rightarrow H^*(M)$ en la cohomología de Rham.
Prueba: por el lema 1, existe $f'$ suave que es continuamente homotópica a $f$ y que $f^*=f'^*$ . Tenemos que comprobar que $f^*$ está bien definida : si $f''$ es otro mapa suave continuamente homotópico a $f$ entonces $f'$ y $f''$ son continuamente homotópicas, y por tanto, por el lema 2, suavemente homotópicas, por lo que $f'^*=f''^*$ por el teorema. $\blacksquare$
Corolario 1: si $f:M\rightarrow N$ y $g:N\rightarrow L$ son continuas entre variedades, entonces $(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ .
Corolario 2: si $f,g:M\rightarrow N$ son continuamente homotópicos entonces $f^*=g^*$ .
Corolario 3: dos variedades con el mismo tipo de homotopía tienen la misma cohomología de Rham.
En particular, dos variedades homeomórficas tienen la misma cohomología de Rham.
Observación: este resultado me parece impresionante, porque muestra que la cohomología de Rham en una variedad no depende de la estructura diferencial.
