¿Qué necesito saber para entender la hipótesis de Riemann

Question

Que tipos de campos de las matemáticas, ¿tengo que saber sobre el fin de entender la hipótesis de Riemann milenio premio problema?

Answer 1

Sólo para entender el$^\dagger$ declaración del problema, tendría que estar familiarizado con el análisis complejo y la teoría analítica de números. El $\zeta$ función en sí es un objeto analítico de la teoría de los números y para entender su significado (sólo en la superficie!) usted tendría que estudiar en estos reinos. Por supuesto, es también una función en $\Bbb C$ después de continuación analítica - alcanzada mediante una ecuación funcional - con un simple poste de $1$, y la comprensión de lo que esto significa y cómo manipular la función hábilmente significa el estudio de complejos análisis.

$^\dagger$Me refiero a la declaración de que $\zeta(s)$ tiene todos los ceros no triviales de la línea crítica. En realidad, hay un montón de instrucciones equivalentes que requieren muy poco conocimiento de análisis complejo (usted tendrá que recoger un par de definiciones de funciones aritméticas a partir de la analítica de NT para muchos de ellos, estos no son demasiado difíciles). Usted puede encontrar una gran cantidad de correspondencias a que se enumeran aquí , por ejemplo.

Más allá de que, para entender los modernos enfoques de RH y relacionados o generalizada de las conjeturas y todos los de la teoría hay que rodean a esta criatura, debe ir mucho más allá en algebraicas teoría de los números, al menos, y viajar a muchos otros mundos como las formas modulares, la geometría diferencial, la teoría cuántica y las matrices aleatorias, etc. - básicamente, al menos, un conocimiento básico de la mayoría de los temas avanzados en análisis, el álgebra y la geometría, y luego sobre todo profundamente en las áreas pertinentes.

Answer 2

Yo solía tratar de explicar la complejidad del análisis de la parte. Me han dado hasta en eso. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function para más detalles...

La versión corta es que la primer función de recuento $\pi(x)$ se aproxima bastante bien por $$ \frac{x}{\log x}. $$ It is known that a better approximation is given by $$ \mbox{li} \, (x). $$

La hipótesis de Riemann es equivalente a una forma específica de la declaración de que $ \mbox{li} \, (x) $ es una muy buena aproximación, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function#The_Riemann_hypothesis y la TABLA de

Answer 3

Sin duda, la teoría de los números. Usted puede encontrar más conexiones a otros campos en "El Milenio de Problemas" por Keith Devlin.

Answer 4

La Hipótesis de Riemann es sólo una conjetura acerca de los ceros de una función. La comprensión de esto es simple.

Sin embargo, la comprensión de por qué esto es importante y lo que significa la teoría de los números está lejos de ser simple.