Contabilización de la expansión en $N$ -Simulaciones gravitacionales de cuerpos

Question

Tengo un $N$ -Simulación de cuerpos para la evolución del universo. Utiliza un esquema híbrido Tree Particle-Mesh para calcular las fuerzas. El código de árbol utiliza la ley de la gravedad de Newton:

$$\textbf{F}_i = -G \sum_{j\neq i} \frac{m_i m_j}{|\textbf{x}_i - \textbf{x}_j|^3} (\textbf{x}_i - \textbf{x}_j). $$

El método de malla de partículas calcula la fuerza resolviendo la ecuación de Poisson para el potencial en mediante una transformada de Fourier:

$$\nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho.$$

El método de malla de partículas tiene en cuenta las condiciones de contorno periódicas y el código de árbol se utiliza sólo para las regiones densas. Actualmente la simulación no tiene en cuenta la expansión del universo. ¿Hay alguna forma de adaptar las ecuaciones o los métodos para tener en cuenta la expansión?

Answer 1

Si tratas tu $\mathbf{x}_i$ como coordenadas físicas, entonces a nivel de la física newtoniana, se puede igualar el resultado de una expansión del espaciotiempo en la relatividad general dando a las partículas una velocidad inicial hacia el exterior. Es decir, si la constante de Hubble es $H$ y las velocidades propias iniciales fueron $\mathbf{v}_i$ entonces las velocidades iniciales correctas para tener en cuenta la expansión son $$H \mathbf{x}_i + \mathbf{v}_i.$$ No tienes que cambiar nada más.

Sin embargo, si estás haciendo el cálculo utilizando condiciones de contorno periódicas en una caja de tamaño fijo, esto no funcionará. En este caso, usted quiere que su $\mathbf{x}_i$ para representar coordenadas comoving (es decir, las distancias físicas son distancias comoving multiplicadas por el factor de escala $a$ ), en cuyo caso se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento son $$\mathbf{a} = - H \mathbf{v} - \frac{1}{a} \nabla \Phi, \quad \frac{1}{a^2}\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho.$$ En otras palabras, añadimos un factor de $1/a$ cada vez que hay una derivada espacial comoving, y hay un término adicional de "fricción de Hubble" $-H \mathbf{v}$ que representa el corrimiento al rojo cosmológico. La dependencia temporal de $a$ y $H$ puede calcularse a partir de la ecuación de Friedmann para un universo plano y dominado por la materia, $$\frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi}{3} G \bar{\rho}.$$ Creo que esta es la forma estándar en que se establecen las simulaciones cosmológicas newtonianas.