Ejemplos del Teorema de Peano

Question

El teorema de Peano para ecuaciones diferenciales ordinarias dice que cuando la función F(x,u) es continua en un cuadrado $S=[x_0-r,x_0+r]\times [ y_0-r,y_0+r]$ en

$u' = F(x,u)$

entonces el problema de valor inicial $u(x_0)=y_0$ tiene una solución en alguna región $[x_0-h,x_0+h]$ donde

$0 $h \max_S |F| \le r$

Entiendo la prueba, pero tengo una verdadera falta de buenos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. ¿Alguien podría proporcionar ejemplos de lo siguiente que ilustren las suposiciones del teorema?

(0) Una función discontinua acotada $F$ que no tiene solución para algún problema de valor inicial

(1) Un ejemplo de una función $F$ que es continua en un cuadrado $S$ tal que $F$ tiene una solución en un subconjunto del cuadrado pero no tiene una solución en todo el cuadrado?

(2) Una función $F$ que es continua en todas partes que no tiene una solución global para algún problema de valor inicial. No puedo decir del teorema si tal ejemplo existiría o no, porque potencialmente la mayor elección de $h$ podría converger a un valor finito a medida que $r$ aumenta.

Cualquier otro buen ejemplo que ilustre el teorema es bienvenido.

Answer 1

Aquí hay algunos ejemplos.

• Una función discontinua acotada $F$ que no tiene solución para algún problema de valor inicial

Tomemos $$\begin{array}{l|rcl} F : & \mathbb [-1,+1] \times [-1,+1] & \longrightarrow & \mathbb R \\ & (x,u) & \longmapsto & 1 \text{ si } x \in \mathbb Q \\ & (x,u) & \longmapsto & 0 \text{ de lo contrario} \end{array}$$

Según el Teorema de Darboux una solución $u$ debería tener una derivada $u^\prime$ que tome todos los valores en el segmento $[0,1]$, lo cual está en contradicción con el problema de valor inicial.

• ¿Un ejemplo de una función $F$ que es continua en un cuadrado $S$ tal que $F$ tiene una solución en un subconjunto del cuadrado pero no tiene una solución en todo el cuadrado?

$$\begin{array}{l|rcl} F : & \mathbb [-1,+1] \times [-1,+1] & \longrightarrow & \mathbb R \\ & (x,u) & \longmapsto & u^2 \end{array}$$

Tiene como solución $u(x)=\frac{2}{1-2x}$ para el problema de valor inicial $u(0)=2$ y la solución no está definida para $x \ge \frac{1}{2}$.

• Una función $F$ que es continua en todas partes y que no tiene una solución global para algún problema de valor inicial.

Echa un vistazo aquí. Necesitas mirar en espacios de dimensiones infinitas para encontrar un contraejemplo.