determinar la independencia lineal de estas dos funciones

Question

¿Cómo determinar si las siguientes dos funciones son linealmente independientes?

$f(t)= \sqrt{t}$ y $g(t)=\frac1{t}$

Sé que son linealmente independientes usando el Wronskian. ¿Cómo lo calcularía sin usar la Wronskiana?

Answer 1

Sin utilizar el Wronskian, me gustaría señalar que:

• $f(1)=1$ ;
• $f(4)=2$ ;
• $g(1)=1$ ;
• $g(4)=\frac14$ .

Por lo tanto, si $\alpha,\beta\in\mathbb R$ son tales que $\alpha f+\beta g=0$ entonces $\alpha\times1+\beta\times2=\alpha\times2+\beta\times\frac14=0$ . Pero la única solución del sistema $$\left\{\begin{array}{l}\alpha+2\beta=0\\2\alpha+\frac\beta4=0\end{array}\right.$$ es $\alpha=\beta=0$ .

Answer 2

Si no lo fueran, obtendrías $(a, b) \neq (0,0)$ tal que $$a f(t) + b g(t) = 0 \quad \forall t > 0$$

Evaluar en $t=1$ y $t=4$ (por ejemplo), se obtiene $a+b = 0 \quad \text{and} \quad 2a + \frac{b}{4} = 0$$

La resolución del sistema le lleva a $a=b=0$ . Absurdo.