Prueba $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^nP(A_i \cap A_j) \geq \Bigl( \sum_{k=1}^n P(A_k) \Bigr)^2$

Question

Dejemos que $A_1,A_2,...,A_n$ sean eventos positivos (es decir $P(A_k)>0)$ . Demuestra que:

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^nP(A_i \cap A_j) \geq \Bigl( \sum_{k=1}^n P(A_k) \Bigr)^2$$

Intenté hacer algo de álgebra pero no conseguí nada. ¿Alguna idea de cómo avanzar?

Answer 1

Pistas:

1. Demuestre que el lado izquierdo de la desigualdad es igual a $$\ell:=E \left[ \left( \sum_{j=1}^n 1_{A_j} \right)^2 \right]= E \left( \left| \sum_{j=1}^n 1_{A_j} \right|^2 \right).$$
2. Demuestre que el lado derecho de la desigualdad es igual a $$r:=\left[ \mathbb{E} \left( \sum_{j=1}^n 1_{A_j} \right) \right]^2 = \left[ \mathbb{E} \left| \sum_{j=1}^n 1_{A_j} \right| \right]^2.$$
3. Aplique la desigualdad de Jensen (o la desigualdad de Cauchy-Schwarz) para demostrar que $\ell \geq r$ .

Answer 2

Reformulación: Sea $\chi_1, \ldots, \chi_n: \Omega \to \{0, 1\}$ sean funciones características de subconjuntos medibles de un espacio de probabilidad $\Omega$ . Demostrar que $$\int_\Omega (\chi_1(\omega) + \cdots + \chi_n(\omega))^2 d\omega \geq \left( \int_\Omega \chi_1(\omega) + \cdots + \chi_n(\omega) \right)^2.$$

Prueba: Aplicar un corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: para toda función de valor real $f$ , $$\int_\Omega f^2(\omega)\, d\omega \geq \left( \int_\Omega f(\omega)\, d\omega\right)^2.$$