Cálculo de la acción gravitatoria euclidiana de Schwartzchild BH

Question

Estoy leyendo el documento de Gibbons y Hawking Integrales de acción y funciones de partición en la gravedad cuántica Phys. Rev. D 15 (1977) 2752 donde calculan la acción gravitatoria de los agujeros negros.

En particular, la acción para una métrica $g$ en una región $Y$ con límite $\partial Y$ tiene la forma

$$I = \frac{1}{16\pi}\int_Yd^4x \sqrt{-g}R + \frac{1}{8\pi}\int_{\partial Y}d^3x \sqrt{-h}K$$

donde $R$ es el escalar de Ricci de la métrica $g$ , $K$ es la traza de la curvatura extrínseca y $h$ es la métrica inducida en la frontera. También hay que añadir una constante para que la acción sea convergente en el infinito espacial. Esta constante no es importante para mi pregunta.

Como ejemplo concreto, se puede considerar una solución Schwartzchild

$$ds^2 = -f(r) dt^2 + \frac{1}{f(r)}dr^2 + r^2 d\Omega_2^2$$

con $f(r) = (1-2m/r)$ .

En su artículo, Gibbons y Hawking explotan un método para calcular explícitamente la acción (euclidiana) redefiniendo las coordenadas y tomando una continuación analítica en el plano complejo. Integran explícitamente en una sección $Y$ donde

$$r\geq 2m$$

Mi pregunta muy ingenua es: ¿Por qué calculan la acción para $r\geq 2m$ y no consideran valores menores de $r$ ?

Puedo entender que quieran evitar la singularidad en $r=0$ pero no entiendo por qué no están integrando posiblemente en un subconjunto de la región por debajo del radio de Schwarzschild, por ejemplo para $r\geq 2m -\epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon$ .

Answer 1

La idea de la continuación analítica es así (me refiero a todo el Diagrama de Kruskal-Szekeres ). Consideremos un gráfico de Schwarzshild, donde $t$ es una coordenada (I). Tenemos cuatro cartas de este tipo, y consideramos dos de ellas: la región estática fuera de la región del agujero negro donde $t$ es una coordenada temporal (región I) y la región del agujero negro no estacionario (región II), donde la coordenada $t$ es espacial.

Centrémonos primero en la región exterior (I). Pongamos nuestros ojos en la $3D$ submanifold en $t=0$ . Este colector puede considerarse también como un subcolector de otro $4D$ colector en el que $t$ toma valores imaginarios. Eso es sólo porque $0= i0$ . Los dos $3D$ de tiempo real y el espacio-tiempo imaginario se encuentran exactamente en esa $3D$ submanifold que es simultáneamente parte de ambos $4D$ colectores. En ambos $4D$ podemos poner la métrica de Schwarzshild (con $r>2m$ ) ya que es analítica para valores complejos de $t$ y esta métrica se convierte en una euclidiana común $3D$ métrica en el $t=it=0$ submanifold.

Subrayo que estas estructuras comunes son únicas en vista de la unicidad de las extensiones analíticas.

La misma idea funciona con la región del agujero negro interno (II) y se tiene otro colector euclidiano en 4D que comparte con la región del agujero negro la $3D$ submanifold en $t=0$ .

Subrayo que este submanifold es una línea vertical desde la bifurcación hasta la singularidad.

Estos dos $3D$ $t=0$ submanifolds se encuentran, digamos, "othogonally" en la bifurcación en el espaciotiempo lorentziano y esto significa que no definen un espacio tangente común donde se encuentran . En otras palabras, no existe una estructura de submanifold liso común del formalismo lorentziano y euclidiano en la que se incrusten estas dos extensiones.

Obviamente, siempre se puede construir algún puente suave o analítico entre ellas en el espaciotiempo euclidiano que contiene ambas submanifolds equipadas con la métrica de Schwarzschild en $t=0$ y evitar la aparente singularidad en $r=2m$ como ocurre con las coordenadas de Kruskal-Szekeres en el espaciotiempo lorentziano. Sin embargo, cada puente de este tipo no puede extenderse sin problemas a la sección lorentziana, ya que allí los dos $3D$ los submanifolds no se unen suavemente. .

Por lo tanto, un espaciotiempo euclidiano analítico que abarca ambas regiones con $r>2m$ y $r<2m$ resultaría, en cierto modo, arbitrario ya que no respeta la analítica Estructura lorentziana. Subrayo que, sin embargo, uno puede decidir renunciar a estructuras analíticas increíblemente rígidas, ya que sólo son una forma posible de describir los objetos físicos. En ese caso, alguna suposición física sería sin embargo necesaria y explicitada para reemplazar la poderosa idea de la unicidad de la continuación analítica. La única posibilidad de unir las dos secciones euclidianas, en este caese, se basaría en un mero continuo estructura. En mi opinión, eso suena bastante débil.

Otra razón completamente física para no considerar las extensiones euclidianas incluyendo las regiones con $r>2m$ y $r<2m$ es que el significado de $t$ en la región interna no permite una interpretación termodinámica ya que define un vector de Killing de tipo espacial en lugar de un vector de Killing de tipo temporal.