Representación para álgebras de Lie centrales de dimensión finita sobre un campo de característica 0

Question

Dejemos que $\mathbb{K}$ sea un campo de característica $0$ , $\overline{\mathbb{K}}$ su cierre algebraico y $L$ una central simple $\mathbb{K}$ -Algebra de Lie. Entonces hay un clásico $\mathbb{K}$ -Lie álgebra $X$ y un automorfismo $B\in Aut_{\overline{\mathbb{K}}}(\overline{\mathbb{K}}\otimes_{\mathbb{K}} X)$ de espacios vectoriales, tal que \begin{align*} L=B(X). \end{align*} Además, $B$ es único hasta la clase $B\circ Aut_{\mathbb{K}}X$ .

¿Es eso cierto? Esta representación no está ciertamente bien definida, es decir, para muchos automorfismos $B$ la imagen $B(X)$ no presenta ninguna estructura algebraica sensata. Sólo afirmo la existencia y la unicidad de esta representación.

Mis argumentos: El simple central $\mathbb{K}$ -Las álgebras de Lie son exactamente las clásicas. Si $L$ es simple central sobre $\mathbb{K}$ entonces $L':=\overline{\mathbb{K}}\otimes_{\mathbb{K}}L$ es simple central sobre $\overline{\mathbb{K}}$ y tan clásico. Sea $X$ el clásico $\mathbb{K}$ -Algebra de Lie que satisface $\overline{\mathbb{K}}\otimes_{\mathbb{K}}X=L'$ . Entonces $L$ y $X$ ambos tienen incrustaciones en L'. Por las propiedades del producto tensorial cualquier $\mathbb{K}$ -base $B_X$ de $X$ o $B_L$ de $L$ también es un $\overline{\mathbb{K}}$ -base de $L'$ . Por lo tanto, existe un automorfismo de transformación de base $B\in Aut_{\overline{\mathbb{K}}}L'$ , de tal manera que $B(B_X)=B(B_L)$ . Esto implica $B(X)=L$ .

Answer 1

Con las aclaraciones, el resultado es cierto, aunque tal vez no tan emocionante como uno podría pensar. En efecto, de los puntos cruciales se deduce que

• sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ una álgebra de Lie simple es clásica (resultado de clasificación bien conocido debido a Cartan/Killing)
• si $L$ es un álgebra de Lie simple central sobre un campo $K$ entonces para cualquier extensión de campo $K' \vert K$ la extensión escalar $K' \otimes_K L$ es un álgebra de Lie simple sobre $K'$ (una pequeña teoría que muestra que eso es equivalente a ser central simple)
• para cada campo $K$ de la característica $0$ las álgebras de Lie clásicas pueden definirse sobre $K$ (en cierto modo, definición de las álgebras de Lie clásicas, o trabajo realizado por Chevalley).

A partir de ahí, el resultado es, efectivamente, como en su esquema. Sin embargo, exponer un isomorfismo de espacios vectoriales no es tan emocionante realmente: Dos $K$ -son isomorfos si tienen la misma dimensión, y el resultado no dice mucho más que para cada álgebra de Lie simple central sobre $K$ existe un álgebra de Lie clásica sobre $K$ que tiene el mismo $K$ -dimensión: a saber, la dividida que es del mismo tipo que la que empezamos.

Sobre lo poco más que dice -- a saber, la exhibición de ese isomorfismo como un automorfismo de algún espacio vectorial específico, y la unicidad --: aunque me gusta la idea de no identificar realmente las cosas isomórficas, secretamente todavía estás haciendo eso cuando dices $X$ es "el" álgebra de Lie clásica que satisface $\bar K \otimes X = L'$ .

Lo que es mucho más fascinante es que para muchas centrales simples $K$ -Lie, ya existe una extensión de Galois finita (en lugar del cierre algebraico) para la que la extensión escalar está dividida, y entonces se puede encontrar nuestra álgebra como conjunto de puntos fijos de un grupo de semiautomorfismos, lo que nos da también un control de la estructura del álgebra y en muchos campos, permite clasificar todas las formas de un determinado tipo (por ejemplo, todos los que se convierten en isomorfos de, digamos, $\mathfrak{so}_{17}$ en $\bar K$ ) hasta el isomorfismo de $K$ -Lie algebras. Esto es el núcleo de la idea de clasificar las formas a través de la cohomología de Galois, y los maravillosos resultados (clasificación de Satake-Tits) se mantienen en particular si $\bar K \vert K$ es finito, como en el ejemplo clásico $K= \mathbb R$ (donde las formas ya fueron clasificadas por Cartan, pero con mucha más maquinaria computacional).