¿Explicación intuitiva del vector con notación primitiva?

Question

Se dice que esta es la ecuación para encontrar el campo eléctrico para una distribución continua de cargas:

Apenas empiezo a aprender calc III, no estoy muy seguro de cómo interpretar esto. Nunca he visto la notación de primo emparejado con un vector como este antes. ¿Qué representa geométricamente cada símbolo? Entiendo bien el electromagnetismo y cómo se aplican intuitivamente la Ley de Coulomb y la Ley de Gauss, pero el hecho de que el vector unitario sea una función multiplicada por la densidad de carga de una función, me confunde mucho. Sobre todo porque pensaba que $\rho$ era una función de $(x,y,z)$ . Intento comprender la idea que hay detrás de esto más que una definición necesariamente rigurosa desde el punto de vista matemático de lo que ocurre.

Answer 1

Las coordenadas primadas son simplemente coordenadas "ficticias" sobre las que integramos las contribuciones al campo eléctrico en un punto de observación fijo $\vec r$ de una carga diferencial, $dq=\rho(\vec r')\,dV'$ , en $\vec r'$ .

La distancia entre el punto de observación fijo $\vec r$ y la carga diferencial en $\vec r'$ es $|\vec r-\vec r'|$ y el vector unitario de la carga al punto de observación es $\frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|}$ .

La contribución al campo eléctrico, $d\vec E(\vec r)$ de una carga diferencial $dq=\rho(\vec r')\,dV'$ , en $\vec r'$ viene dada por

$$\begin{align} d\vec E(\vec r)&=\frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r-\vec r'|^2}\,\,\underbrace{\left(\frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|}\right)}_{=\hat u(\vec r-\vec r')}\\\\ &=\frac{\rho(\vec r')\,\hat u(\vec r-\vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r-\vec r'|^2}\,dV' \end{align}$$

A continuación, sumamos las contribuciones integrando sobre el volumen $V$ que contiene toda la carga para obtener'

$$\begin{align} \vec E(\vec r)&=\iiint_V d\vec E(\vec r)\\\\ &=\iiint_V\frac{\rho(\vec r')\,\hat u(\vec r-\vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r-\vec r'|^2}\,dV' \end{align}$$

Answer 2

$r$ es un radio vector (el que evalúa el campo) y $r'$ sólo otro (cubre todos los lugares en $V$ ). Puede utilizar cualquier otro símbolo en lugar de $r'$ . El campo (vectorial) total es la suma de los campos (vectoriales) generados por las cargas individuales.