Demostrar que ciertos elementos del producto tensorial son linealmente independientes

Question

Dejemos que $A$ ser un $k$ -Álgebra. Sea $l/k$ sea un campo finito ext. de $k$ , y $b_1, ..., b_d$ ser un $k$ base de $l$ . ¿Cómo puedo demostrar que $1 \otimes b_1, ..., 1 \otimes b_d \in A \otimes_k l$ es linealmente independiente sobre $A$ ? Gracias.

Answer 1

Escoge cualquier $k$ -función lineal $\epsilon:A\to k$ tal que $\epsilon(1)=1$ .

Supongamos ahora que existe una combinación lineal de sus elementos con coeficientes en $k$ que es cero, y aplicarle el mapa lineal $\epsilon\otimes\mathrm{id}_l:A\otimes_kl\to k\otimes_kl=l$ .

Answer 2

El mapa $L\longrightarrow A\otimes_K L$ en un homomorfismo de anillo inyectivo : por tanto, si $\sum_{i=1}^d \lambda_i (1\otimes b_i)=\sum_{i=1}^d \lambda_i (1\otimes b_i)=1\otimes\sum_{i=1}^d ( \lambda_i b_i)=0$ entonces $\,\sum_{i=1}^d ( \lambda_i b_i)=0$ Por lo tanto $\,\lambda_i=0$ para todos $i=1,\dots,d$ .