Clasificación de todos los grupos de orden 10

Question

Estoy tratando de clasificar todos los grupos de orden 10 hasta el isomorfismo. Supongamos que $G$ =10. Utilizando el teorema de Sylow, si $n_p$ es el número de los grupos p-Sylow (p primo), entonces $n_2|5$ , por lo que es 1 o 5. Del mismo modo, $n_5$ es 1 o 2. Pero $n_5\equiv 1 \bmod $ Así que $n_5$ sólo puede ser 1.

Caso I: $n_2$ es 1

Entonces, dado $d\in \mathbb{Z}$ el grupo tiene a lo sumo 1 subgrupo de orden $d$ Así que $G$ es cíclico. Así que, $G\cong \mathbb{Z_{10}}$ .

Caso II: $n_2$ es 5

Aquí es donde estoy atascado. Tenemos 5 subgrupos de orden 2 y un subgrupo de orden 5 (llamémoslo H). Como $|H|$ es primo, deduzco que $H$ es un grupo cíclico de la forma $\{1,r,\dots,r^4\}$ . También, $H$ es un subgrupo único de orden primo en G, por lo que $H\unlhd G$ . Pero no tengo idea de cómo proceder después de esto. Gracias.

Answer 1

Considérelo así. Dejemos que $a$ sea un elemento de orden $2$ y $b$ un elemento de orden $5$ . Demostrar que $a^ib^j$ son todos los elementos del grupo, con $i=0,1$ y $j=0,1,2,3,4$ . Entonces $aba^{-1}$ es de orden $5$ por lo que es igual a $b^j$ para algunos $j$ . Pero entonces $b=ab^{j}a^{-1}=(aba^{-1})^j=b^{j^2}$ . Así que $j^2\equiv 1\pmod 5$ . ¿Cuáles son los posibles valores de $j$ ?