Cómo demostrar que $2^{2^n - 2} + 1$ es un número no primo?

Question

Esto, teniendo en cuenta $n 3$ .

Lo he intentado por inducción; supongo que es cierto para todo n menor o igual que k (y mayor o igual que 3), pero luego me tropiezo cuando voy a demostrar para n = k + 1.

$2^{2^{k+1} - 2 } + 1 = $ $2^{2* 2^k - 2} + 1$

Answer 1

La inducción no es necesaria. Todo lo que necesita es el hecho de que $a+b\mid a^n+b^n$ para los enteros positivos de impar $n$ .

Observe que

$$2^{2^n-2}+1=4^{2^{n-1}-1}+1=4^{2^{n-1}-1}+1^{2^{n-1}-1}\;.$$

$2^{n-1}-1$ es impar para $n\ge 2$ Así que $4+1=5$ divide la suma de los poderes de impar, y para $n\ge 3$ la expresión es mayor que $5$ .

Answer 2

$2^n+1$ sólo puede ser primo, si $n$ es una potencia de $2$ . Si $p$ es un factor primo impar de $n$ , $2^\frac{n}{p}+1$ es un divisor propio de $2^n+1$ . Está claro que $2^n-2$ tiene al menos $1$ Factor primo de impar para $n\ge 3$ .

Answer 3

Multiplicar por $4$ y mirar las cosas mod $5$ :

$$4(2^{2^n-2}+1)=2^{2^n}+4=2^{4\cdot2^{n-2}}+4\equiv1+4\equiv0\mod5$$

así que $5$ es un divisor primo de $2^{2^n-2}+1$ . Tenga en cuenta que para $n=2$ , $2^{2^2-2}+1=5$ pero para $n\ge3$ , $2^{2^n-2}+1\gt5$ Así que $5$ es un adecuado divisor.