Encontrar una forma directa de calcular elementos recursivos (problema sencillo con matrices)

Question

Casi he resuelto esta pregunta, sólo necesito una mano con la última parte ya que es un poco confusa.

Nos dan las secuencias recursivas $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ así:

$a_1=1$ , $b_1=2$

$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$

$b_n=3b_{n-1}-a_{n-1}$

Se nos pide que encontremos una forma directa de encontrar $a_n$ y $b_n$

Esto es lo que hice:

$\begin{pmatrix} a_n \\b_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{n-1}+b_{n-1} \\ 3b_{n-1}-a_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n-1} \\ b_{n-1} \end{pmatrix} = ... = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

el problema es que la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ no es diagonalizable. Sin embargo, su forma jordana es $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ Así que, en general, si $B_J$ es una base jordana:

$(B_J\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}B_J^{-1})^{n-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$

¿pero ahora qué? ¿Cómo podemos encontrar $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{n-1}$ ??

Answer 1

Una pista: Tenga en cuenta que $\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ por lo que se puede utilizar el teorema del binomio .

También hay que tener en cuenta que $\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ .

Alternativamente, se pueden calcular las primeras potencias a mano, y luego conjeturar (y demostrar por inducción) que $$\forall k\in \mathbb N\left(\begin{pmatrix} 2 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix} 2^k & k2^{k-1}\\0 & 2^k \end{pmatrix}\right).$$