Cómo estudiar este traje altamente no lineal y acoplado de ODE en la aplicación de la red

Question

En mi investigación estudiando una red complicada basada en grafos, me enfrento a la siguiente ODE altamente no lineal y acoplada y realmente no tengo idea de cómo dar un paso más:

Tomemos como ejemplo dos nodos:

Variables: $a_1,a_2,\theta_1,\theta_2$ que representan la amplitud y la fase de los nodos uno y dos. (gráfico de dos nodos con el acoplamiento $\beta$ , ( $0\leq\beta\leq 1$ )

$$\dot{a}_1=a_1(1+\beta)-a_1^3-\beta a_2\cos(\theta_2-\theta_1)$$ $$\dot{a}_2=a_2(1+\beta)-a_2^3-\beta a_1\cos(\theta_1-\theta_2)$$ $$\dot{\theta}_1=\beta \frac{a_2}{a_1}\sin(\theta_1-\theta_2)$$ $$\dot{\theta}_2=\beta \frac{a_1}{a_2}\sin(\theta_2-\theta_1)$$

Cómo resolver $a_1,a_2,\theta_1,\theta_2$ ?

Si es difícil resolverlo, ¿hay alguna otra forma de estudiar dicha EDO?

Parecen simétricos, ¿hay alguna forma de analizarlo?

Answer 1

Una vez que los osciladores no lineales, el acoplamiento y las redes están involucrados, puedes olvidarte de resolver esto analíticamente. Así que tu primer paso sería resolver numéricamente tus ecuaciones diferenciales para algunas condiciones iniciales y ajustes de parámetros de control para tener una idea de cómo se comporta la dinámica. Lo que hagas después, depende del tipo de dinámica que observes y de lo que te interese. Por ejemplo, puedes:

• Trata tu sistema como un sistema dinámico único y calcula los exponentes de Lyapunov, realiza análisis de bifurcación y demás.

• Investigar el comportamiento de la sincronización global utilizando el enfoque de la estabilidad maestra o los exponentes de Lyapunov transversales.

• Tratar el sistema como un experimento y analizar las propiedades macroscópicas de la dinámica de forma estadística y fenomenológica.

• Relaciona tu modelo con su motivación e investiga si reproduce las observaciones del mundo real.