prueba mediante (teorema del punto fijo)

Question

Busco resolver un equilibrio de Nash en estrategias puras $(d_2,d_2)$ con la participación de dos jugadores, $1$ y $2$ . Dado que $h'(.)$ es una función estrictamente decreciente y continua, $\Phi(d_1-d_2)$ que denota una función de convolución, y $F(.)$ denotando una FCD, quiero demostrar la existencia y la unicidad del equilibrio. Mi opinión es que usamos un teorema de punto fijo para demostrar la existencia. La siguiente es la condición de primer orden para la maximización.

$$g_1(d_1) \equiv h'(d_1)-\gamma\Phi(d_1-d_2)-\eta(1-F(m-d_1))=0 \\ g_2(d_2) h'(d_2)-\gamma[1-\Phi(d_1-d_2)]-\eta(1-F(m-d_2))=0$$

Obsérvese que los parámetros son todos positivos y $d_1$ & $d_2$ son continuos y $m$ es una constante. Aprecio mucho cualquier sugerencia hacia la prueba.

Answer 1

No conozco el juego que comentas ya que sólo das algunos FOCs pero el enfoque general que yo probaría primero es usar Berge + Kakutani .

En la página de wikipedia para Berge, piensa en $f$ como pago, $x$ como estrategias para $i$ , $\theta$ como estrategias para el oponente, y $C^*$ como la correspondencia de mejor respuesta.

Creo que habría que verificar entonces que (condiciones del Teorema de Berges): $u_i(d_1,d_2)$ es continua en ambos argumentos para ambos jugadores, que el espacio estratégico para ambos agentes es compacto condicionado a cada elección de estrategia del jugador contrario, y que la correspondencia que relaciona la elección de estrategia para $-i$ a las estrategias admisibles del jugador $i$ es continua (normalmente en los juegos el espacio de estrategias conjuntas es un espacio producto, por lo que esto se cumple trivialmente).

Según Berge, esto es suficiente para $C^*$ es decir, que las correspondencias de la mejor respuesta de los jugadores sean hemisféricas superiores (suponiendo que el espacio estratégico conjunto sea un espacio producto). También habría que verificar que $C^*$ es de valor convexo. Las condiciones suficientes para ello son $f$ es cuasicóncava y $C$ es de valor convexo. Por último, sus espacios estratégicos básicos deben ser convexos/compactos.

Entonces se tienen funciones de mejor respuesta que mapean espacios estratégicos convexos y compactos en sí mismos, son hemicontinuos superiores y de valor convexo, por lo que según Kakutani existe un punto fijo.

Espero que esto sea útil.