No conozco el juego que comentas ya que sólo das algunos FOCs pero el enfoque general que yo probaría primero es usar Berge + Kakutani .
En la página de wikipedia para Berge, piensa en f como pago, x como estrategias para i , θ como estrategias para el oponente, y C∗ como la correspondencia de mejor respuesta.
Creo que habría que verificar entonces que (condiciones del Teorema de Berges): ui(d1,d2) es continua en ambos argumentos para ambos jugadores, que el espacio estratégico para ambos agentes es compacto condicionado a cada elección de estrategia del jugador contrario, y que la correspondencia que relaciona la elección de estrategia para −i a las estrategias admisibles del jugador i es continua (normalmente en los juegos el espacio de estrategias conjuntas es un espacio producto, por lo que esto se cumple trivialmente).
Según Berge, esto es suficiente para C∗ es decir, que las correspondencias de la mejor respuesta de los jugadores sean hemisféricas superiores (suponiendo que el espacio estratégico conjunto sea un espacio producto). También habría que verificar que C∗ es de valor convexo. Las condiciones suficientes para ello son f es cuasicóncava y C es de valor convexo. Por último, sus espacios estratégicos básicos deben ser convexos/compactos.
Entonces se tienen funciones de mejor respuesta que mapean espacios estratégicos convexos y compactos en sí mismos, son hemicontinuos superiores y de valor convexo, por lo que según Kakutani existe un punto fijo.
Espero que esto sea útil.