¿Existe una $A$ tal que $B$ ¿Inyectiva si el primer functor Ext desaparece?

Question

En la categoría de $\mathbb{Z}$ -existe un módulo $A$ ---por ejemplo $\bigoplus_{k=2}^\infty \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ ---de manera que un $\mathbb{Z}$ -Módulo $B$ es inyectiva si $\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(A,B)=0$ .

¿Esto es así si $\mathbb{Z}$ se sustituye por un anillo arbitrario (unital) $R$ ? Si no es así, ¿cuáles son las condiciones suficientes para $R$ para que esto se mantenga?

Como comentario, hay que tener en cuenta que esto equivale a exigir la existencia de una familia $\{A_j\}_{j\in J}$ de $R$ -módulos indexados por algunos set $J$ tal que un $R$ -Módulo $B$ es inyectiva si $\operatorname{Ext}^1_R(A_j,B)=0$ para todos $j\in J$ : Esto está claramente implícito en el enunciado original. Para obtener la otra dirección, establezca $A:=\bigoplus_{j\in J} A_j$ . Entonces $$\operatorname{Ext}^1_R(A,B)=\prod_{j\in J} \operatorname{Ext}^1_R(A_j, B)=0$$ ya que cada componente es $0$ .

Answer 1

Sí, ese módulo existe para cada anillo unital $R$ : Tome $A= \bigoplus_I R/I$ donde $I$ pasa por los ideales izquierdos de $R$ . Esto se debe a que $B$ es inyectiva si $\text{Ext}^1_R(R/I,B)=0$ para cada $I$ (Weibel, Lemma 4.1.11). Obsérvese también que se trata de una generalización directa de su ejemplo $R=\mathbb{Z}$ .

Añadido: Si $R$ es un anillo conmutativo noetheriano, también se puede tomar $A=\bigoplus_P R/P$ donde $P$ pasa por los ideales primos de $R$ (Bruns, Herzog: anillos Cohen-Macaulay, 3.1.12).