Demostrar que $K$ puede generarse sobre $F$ por la raíz de un polinomio cuaternario irreducible de la forma $x^4+bx^2+c$ .

Question

Estoy intentando resolver el problema 16.6.3 de Artin. El capítulo es sobre extensiones de Galois, así que asumo que las herramientas de la teoría de Galois serán clave para la solución.

Dejemos que $K\supset L \supset F$ sea una cadena de campos de extensión de grado 2. Supongamos que $char(F)=0$ . Demostrar que $K$ puede generarse sobre $F$ por la raíz de un polinomio cuaternario irreducible de la forma $x^4+bx^2+c$ .

Entiendo que $[K:L]=[L:F]=2$ , lo que implica que $[K:F]=4$ . Desde $[K:F]$ es finito y $char(F)=0$ tenemos por el Teorema del Elemento Primitivo que $K=F()$ para algunos $\in F$ .

Por lo tanto, $$ is the root of some monic, degree 4 polynomial $ f(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \Nen F[x]$.

Si puedo demostrar que $a_3=a_1=0$ estaré hecho, pero ¿cómo puedo mostrar esto? O si es imposible mostrar esto, ¿hay otra manera de resolver el problema?

Answer 1

Dejemos que $\alpha$ sea un elemento primitivo para $K/L$ con la propiedad de que $\alpha^2 \in L$ y que $\beta$ sea un elemento primitivo para $L/F$ con la propiedad de que $\beta^2 \in F$ . Entonces existe $a,b \in F$ tal que $\alpha^2 = a + b \beta$ .

En primer lugar, supongamos que $b \neq 0$ . A continuación, simplemente adhiriendo $\alpha$ a $F$ da la extensión completa $K/F$ . El polinomio mínimo de $\alpha$ es $(x^2 - a)^2 - (b\beta)^2$ que tiene la forma deseada.

A continuación, supongamos que $b = 0$ . La extensión $K/F$ es generado por $\alpha + t \beta$ para algunos $t \in F$ por la demostración del Teorema del Elemento Primitivo. El polinomio mínimo de $\alpha + t\beta$ en $F$ es $(x^2 - \alpha^2 - (t\beta)^2)^2 - 4t^2 \alpha^2\beta^2$ que tiene la forma deseada.