¿alguien conoce un Combinatoria ¿una prueba para esta ecuación? $$\sum_{k=0}^n 2^k \binom{n}{k} \binom{n-k}{\lfloor\frac{n-k}{2}\rfloor} = \binom{2n+1}{n}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¿Qué tal esto?
En una fiesta, hay $n$ parejas, y Pat que no forma parte de una pareja. ( $2n+1$ total de personas).
Hay $n$ sillas en la fiesta. ¿Cuántas formas hay de $n$ personas a elegir para sentarse en las sillas (una persona por silla)?
Una respuesta es ${2n+1} \choose n$ formas.
Pero también puedes hacerlo con los siguientes pasos:
(i) elegir un miembro de cada uno de $k$ parejas para sentarse: ${{n}\choose{k}}\cdot 2^k$ formas de hacerlo; y luego
(ii) llenar el mayor número posible de sillas restantes con las parejas que queden completas: $\binom{n-k}{\left\lfloor\frac{n-k}{2}\right\rfloor}$ formas; y luego
(iii) Pat puede sentarse si sobra una silla.
Como $k$ recorre $0, 1, 2, ..., n$ se obtienen todos los asientos posibles, y esto corresponde al lado izquierdo de la identidad combinatoria dada.
