Pregunta sobre módulos sobre álgebras

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra sobre un anillo conmutativo $R$ y que $A$ sea proyectivo como módulo sobre $R$ . Sea $M$ ser un derecho $A$ -módulo, es decir, $M$ es un grupo abeliano con una acción derecha de $A$ . Esta acción de derecho induce una acción (de derecho) $R$ -estructura de módulo en $M$ a través de $m.r=m.(r.1_A)$ donde $1_A$ es la unidad del álgebra.

Mi pregunta es: En el escenario anterior, ¿es $M$ automáticamente proyectiva como módulo derecho sobre $R$ ?

Answer 1

Si $M$ es proyectiva como $A$ -entonces es un sumando directo de $A^{(I)}$ (como $A$ -). Por otro lado, $A$ es un sumando directo de $R^{(J)}$ (como $R$ -módulos).

Ahora $A^{(I)}$ es un sumando directo de $(R^{(J)})^{(I)}\cong R^{(J\times I)}$ como $R$ -módulos.

Así, si $M$ es proyectiva como $A$ -es también proyectiva como $R$ -módulo. Lo contrario no es cierto, en general: como contraejemplo fácil tomemos $A=R$ y cualquier otro no proyectivo $R$ -módulo.

Notación: $X^{(I)}$ es la suma directa de $I$ copias de $X$ .