Existencia de subgrupos abiertos particulares, dado un grupo profinito

Question

Actualmente he leído una demostración (existencia de secciones para grupos pro-finitos (en el libro grupos profinitos de Ribes)) y no he entendido los siguientes dos hechos utilizados (sin mencionar ningún detalle):

1) Se nos da un grupo pro-finito $G$ (es decir, un grupo topológico compacto, Hausdorff y totalmente desconectado) y dos subgrupos cerrados $K\leq H$ . Primero suponemos que el cociente $H/K$ es finito. Entonces existe un subgrupo abierto $U$ de $G$ tal que $U\cap H\subset K$ . No entiendo cómo encontrar tal subgrupo abierto $U$ .

2) A continuación construimos un subgrupo cerrado $T$ de $G$ tal que $K\leq T\leq H$ y suponemos que $T\neq K$ . Entonces existe un subgrupo abierto $U$ de $G$ tal que con $K\subseteq (U\cap T)$ . De nuevo no entiendo cómo encontrar un subgrupo abierto de este tipo $U$ .

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

(1) se deduce del hecho de que todo grupo profinito tiene un sistema fundamental de vecindades de la identidad formado por subgrupos abiertos (normales).
Por lo tanto, ya que $H$ es cerrado (por tanto, compacto), también es un grupo profinito (¡comprobado!).
$H\setminus K$ es cerrado porque es una unión de cosets finitos de $K$ (en $H$ ), por lo que $K$ está abierto en $H$ . Así que podemos escribir $K=H\cap V$ para algún conjunto abierto $V\subseteq G$ .
Finalmente por el hecho expuesto al principio existe un subgrupo abierto $U\subseteq V$ para que $H\cap U\subseteq K$ como se quiera.
(2): tal y como lo planteas, es trivial: basta con tomar $U=G$ . Si desea la inclusión inversa, proceda exactamente como en (1).