Calcular el área de un paralelogramo definido por una construcción particular

Question

Me quedé atascado con esta tarea matemática. ¿Puede alguien ayudarme a resolver este problema?

Necesito encontrar el valor de F(área). Es una especie de tarea de reflexión

Contexto

El problema está extraído del libro alemán "Paul Eigenmann, Geometrische Wiederholungs- und Denkaufgaben. Ernst-Klett-Verlag, 1964.

No sé por dónde empezar exactamente. ¿Puedo suponer que el lado de la base se divide en una mitad que nos da dos lados con 25 cm cada uno?

No hay alturas dadas. Sólo se da lo que se ve en la imagen, la longitud de dos líneas base paralelas $50$ y $57$ .

Answer 1

Si no quieres depender de ningún conocimiento geométrico, o al menos de casi ninguno, entonces puedes atacar ese problema usando coordenadas.

$$ A=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}50\\0\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}57\\h\end{pmatrix}\qquad D=\begin{pmatrix}7\\h\end{pmatrix} $$

Los arcos circulares de la figura indican $AD=AP=CQ=CB=r$ para una cierta longitud $r$ que es el radio de estos arcos. Así que tienes coordenadas

$$ P=\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}\qquad Q=\begin{pmatrix}57-r\\h\end{pmatrix} $$

y la condición

$$AD^2 = 7^2+h^2 = r^2\tag1$$

También tienes los ángulos rectos marcados. La pendiente de $DP$ es

$$\frac{7-r}{h}$$

mientras que la pendiente de $AQ$ es

$$\frac{57-r}{h}$$

Para que sean ortogonales, las pendientes deben multiplicarse por $-1$ :

\begin{align*} \frac{7-r}{h} \cdot \frac{57-r}{h} &= -1 \\ (7-r)(57-r) &= -h^2 \\ 399 - 64r + r^2 + h^2 &= 0 \tag2 \end{align*}

Ahora resta $(1)$ de $(2)$ y se obtiene

\begin{align*} 399 - 64r + r^2 - 7^2 &= -r^2 \\ 2r^2 - 64r + 350 &= 0 \\ r^2 - 32r + 175 &= 0 \\ r &= 16\pm 9 \\ r_1 &= 7 \quad r_2 = 25 \end{align*}

Si se enchufa $r_1$ en $(1)$ se obtiene $h=0$ que no es la solución que usted desea. Así que tome $r_2=25$ en su lugar. Esto le indica que efectivamente los puntos $P$ y $Q$ son los puntos medios de sus respectivos lados. Introduciéndolos en $(1)$ se obtiene

$$h = \sqrt{r_2^2-7^2} = \sqrt{25^2-7^2} = 24$$

Te dejaré el cálculo del área de esto como un ejercicio.