Si un conjunto $A$ es finito entonces $A\cap B$ es un conjunto finito.

Question

Antecedentes:

Teorema - Si $A\subseteq \mathbb{N}_n$ entonces $A$ es un conjunto finito y $|A|\leq n$ .

Pregunta:

Dejemos que $A$ sea un conjunto finito y $B$ ser algún conjunto. Si $A$ es un conjunto finito, entonces $A\cap B$ es un conjunto finito.

Intento de prueba:

Dejemos que $A$ sea un conjunto finito y que $C = A\cap B$ . Si $C = \emptyset$ entonces $C$ es finito. Supongamos que $C \neq \emptyset$ ya que $C\subseteq A$ el conjunto $A\neq \emptyset$ y existe $k\in\mathbb{N}_k$ tal que $A\sim \mathbb{N}_k$ . Es decir, existe $k\in\mathbb{N}$ y existe una correspondencia uno a uno $f:A\to\mathbb{N}_k$ . La restricción de $f$ en el plató $C$ $f|_C$ es una función unívoca de $C$ en $f(C)$ . Por lo tanto, $C\sim f(C)$ . Por el teorema anterior, algunos $f(C)$ es un subconjunto de $\mathbb{N}_k$ , $f(C)$ es un conjunto finito por lo tanto como $C\sim f(C)$ , $C$ también es finito.

No estoy seguro de que esto sea completamente correcto, cualquier comentario u otros enfoques serían apreciados.

Answer 1

Sugerencia $:$ $A \cap B \subseteq A.$

Answer 2

Desde $A\cap B\subseteq A$ tenemos una inyección obvia

$$A\cap B \to A$$

Answer 3

1) $A$ es finito: Entonces $A\cap B$ es finito,

desde $A \cap B \subset A$ .

Dejemos que $A$ ={ $x_1,x_2,.....,x_n$ } $, x_i$ son distintos , $1 \le i \le n$ , $n$ es el número de elementos de $A$ .

Dejemos que $n_1$ sea el menor número entero positivo s.t.

$x_{n_1} \in A\cap B$ .

Dejemos que $n_2$ sea el menor entero pos $n_2 >n_1$ s.t.

$x_{n_2} \in A\cap B$ .

Dejemos que $n_l$ sea el menor número entero pos. $n_l >n_{l-1}$ s.t.

$x_{n_l} \in A\cap B$ .

Este proceso llega a su fin después de $m \le n$ pasos.

$A\cap B=$ { $x_{n_1},x_{n_2},. x_{n_m}$ }.

Queda por hacer:

Encontrar una biyección $A\cap B$ $ \rightarrow $ $J_m$ , donde $J_m=$ { $1,2,...m$ }.

Answer 4

Supongamos que $A\cap B$ es infinito. Entonces tenemos $x_1,x_2,x_3,....$ todo en $A\cap B$ . Pero entonces cada uno de ellos está también en $A$ . Entonces $A$ tiene una cardinalidad ininita. Una contradicción.