Buscando una casa a Prueba el Hecho de que el Grassmannian Colector es Hausdorff

Question

$\newcommand{\R}{\mathbf R}$ Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial y $k$ ser un entero menor que $n$. Un $k$-marco en $V$ es un inyectiva lineal mapa de $T:\R^k\to V$. Deje que el conjunto de todas las $k$-marcos en $V$ se denota por a $F_k(V)$. Está claro que $F_k(V)$ es un subconjunto abierto de $L(\R^k, V)$.

Definir una relación $\sim$ $F_k(V)$ como sigue: escribimos $S\sim T$ para los dos miembros de la $S$ $T$ $F_k(V)$ si y sólo si $\text{span }T=\text{span }S$.

Puede verse fácilmente que el $S\sim T$ si y sólo si hay un $\tau\in GL_k(\R)$ tal que $T=S\circ \tau$.

El Grassmannian colector $GR_k(V)$ se define como el cociente del espacio de $F_k(V)/\sim$.

Sé que el mapa de proyección $\pi:F_k(V)\to GR_k(\R)$ es una carta abierta.

Estoy tratando de demostrar que $GR_k(V)$ es un espacio de Hausdorff.

He probado la anterior señalando que la declaración anterior es sólo esto: Dado linealmente independientes listas de $(u_1, \ldots, u_k)$ $(v_1, \ldots, v_k)$ $V$ que no ocupan el mismo subespacio, hay barrios $U_i$'s de $u_i$'s y $V_j$'s de $v_j$'s tal que siempre que $(u_1',\ldots, u_k')\in U_1\times \cdots\times U_k$$(v_1',\ldots, v_k')\in V_1\times \cdots\times V_k$, las listas de $(u_1', \ldots, u_k')$ y $(v_1', \ldots, v_k')$ son linealmente independientes, y no abarcan el mismo subespacio.

Tuve una bastante larga prueba de ello. Básicamente he establecido que dado hyperplanes $H$$K$$V$, hay un hyperplane $P$ $V$ tal que $P$ es "entre" $H$$K$.

Estoy buscando un enfoque más directo que el replanteamiento del problema en el citado camino.

editar: También estoy tratando de evitar el uso de matrices y coordina tanto como sea posible.

Gracias.

Answer 1

He aquí una forma alternativa de acuerdo con la topología : trabajar con ortonormales $k$-marcos en su lugar! Es decir, elegir un producto interior $\langle-|-\rangle$ $V$ y el estudio por el Stieffel colector de ortonormales $k$-fotogramas $$V_k(V)=\lbrace (v_1,\dots,v_k)\in V^k\mid\langle v_i\mid v_j\rangle=\delta_{ij}\rbrace$$ La relación de equivalencia inducida por que en $F_k(V)$ ahora coincide con la que viene de la acción natural de la matriz del grupo de $O(k)$. La ventaja de este enfoque es que el cociente es automáticamente Hausdorff:

Lema. Supongamos $G$ es un grupo compacto (Hausdorff no es necesario), y $X$ es un espacio de Hausdorff con un grupo continuo de la acción $\rho:G\times X\to X$. A continuación, $X/G$ es de Hausdorff.

Prueba. Supongamos $x,y\in X$ pertenecen a diferentes $G$de las órbitas. Nuestra esperanza es encontrar a dos disjuntos abrir barrios de $x$ $y$ que son los sindicatos de las órbitas. Para cada $x'\in G.y$, existe discontinuo abrir conjuntos de $V_{x'}\ni x'$$V_y^{x'}\ni y$. Por la continuidad de la acción, para cada $g\in G$ existen abrir conjuntos de $O_g\ni g$ $V_{x}^g\ni x$ tal que $\rho(O_g\times V_{x}^g)\subset V_{g.x}$. Por la compacidad de $G$, hay un número finito de abiertos que cubren $G=\cup_{i=1}^NO_{g_i}$. Set$W_x=\cap_{i=1}^NV_{x}^{g_i}$$W_y=\cap_{i=1}^NV_{y}^{g_i.x}$, la demanda es que $\rho(G\times W_x)$ $\rho(G\times W_y)$ son distintos bloques abiertos, y es fácil comprobar.

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Así, el grassmannian de $k$-aviones, que se define como el cociente de la Stieffel-colector bajo la acción de la matriz del grupo de $O(k)$ es de Hausdorff. Pero, ¿responde esto a tu pregunta? Lo hace!

Primero de todo, tenga en cuenta que el grassmannian, como lo defina, es compacto. Esto es porque hay un contiuous surjection $V_k(V)\hookrightarrow Fr_k(V)\rightarrow Gr_k(V)$ : cada subespacio admite una base ortonormales. Además, las bacterias Gram-Schmidtification mapa de $$\mathrm{GS}:Fr_k(V)\to V_k(V)$$ es continua, y es compatible con las relaciones de equivalencia, e induce a una continua bijection entre su definición de la Grassmannian y la mía $$\overbrace{\widetilde{\mathrm{GS}}:\underbrace{Fr_k(V)/\sim}_{\text{compact}}\;\longrightarrow\;\underbrace{V_k(V)/\sim}_{\text{Hausdorff}}}^{\text{continuous bijection}}$$ Por lo tanto $\widetilde{\mathrm{GS}}$ es un homeomorphism, y su grassmannian es Hausdorff.

Answer 2

Un modo simple y limpio para mostrar que el Grassmannian es Hausdorff es definir una métrica. Aquí están los pasos de la prueba:

1. Deje $S$ ser la unidad de la esfera en $V$, y deje $d$ ser una métrica en $S$. Si $A\subset S$ es cerrado y $p\in S$, definir $$ d(p,A) \;=\; \min\{d(p,a) \mid\en\}. $$ Es fácil mostrar que $d(p,A)$ es una función continua de $p$.

2. Ahora, si $A,B\subset S$ están cerrados, definir $$ d_H(a,B) \;=\; \max\biggl(\max_{a\in A} \,d(a,B),\, \max_{b\B}\,d(b,A)\biggr) $$ Tenga en cuenta que $d_H(A,B) = 0$ si y sólo si $A=B$.

3. Por último, si $H$ $K$ $k$- dimensiones de los subespacios de $V$, definir $$ \rho(H,K) \;=\; d_H(H\cap S,K\cap S) $$ Luego basta probar que $\rho\colon \textit{GR}_k(V)\times \textit{GR}_k(V) \to\mathbb{R}$ es continua. Desde $\textit{GR}_k(V)$ se define como un cociente en el espacio, este es el mismo como la demostración de que la composición $$ F_k(V) \times F_k(V) \a \textit{GR}_k(V)\times \textit{GR}_k(V) \to\mathbb{R} $$ es continuo, que debería ser relativamente rápido. (Los detalles dependen de cómo se ha definido la topología en $L(\textbf{R}^k,V)$.)

Por supuesto, $d_H$ es en realidad una métrica en la colección de subconjuntos cerrados de $S$ (la distancia de Hausdorff), por lo $\rho$ es en realidad una métrica en $\textit{GR}_k(V)$. En efecto, si el uso de la línea geodésica métrica $d$$S$, $\rho$ es, precisamente, el ángulo entre el $k$-dimensiones de los subespacios. Sin embargo, no necesitamos probar esto si el objetivo es establecer que $\textit{GR}_k(V)$ es de Hausdorff.

Answer 3

Existen al menos dos enfoques:

1. Cualquier $(n - k)$-avión $A \in Gr_{n - k}(V)$ determina natural gráfico en el (abierto) subconjunto $U_A \subset Gr_k(V)$ consta de planos de $B \in Gr_k(V)$ transversal a $A$ (es decir, que los $A \oplus B = V$): obtenemos un mapa $$\Phi_A: \text{Hom}(A, B) \cong B \otimes A^* \to U_A$$ that sends any linear map $T: \a B$ a de su gráfica, $$\text{graph } T := \{(x, T(x)) : x \in A\} \subset A \oplus B = V.$$ Si fijamos las bases de $A, B$, podemos identificar a $\text{Hom}(A, B)$$M((n - k) \times k, \Bbb R) \cong \Bbb R^{(n - k) k}$, la presentación de las coordenadas en la $U_A$. Al menos al $k \neq 0, n$, para cualquier $k$-planos de $B, C \in Gr_k(V)$ hay algo de $(n - k)$-avión $A \in Gr_{n - k}(V)$ transversal a ambos, y, por tanto, $B$ $C$ están en $U_A$, en cuyo caso (porque el espacio Euclidiano es Hausdorff) la topología separa $B$$C$. (Por supuesto, hay más detalles para comprobar, a saber, que los gráficos de $(U_A, \Phi_A^{-1})$ son compatibles con la suave estructura en $Gr_k(V)$ implícito en el marco de la construcción de ese espacio.)

2. Es fácil ver por la elección de las bases que $GL(V)$ actúa transitivamente sobre $Gr_k(V)$, y con un poco más de trabajo se puede demostrar que esta acción es suave. Si elegimos una base $(E_1, \ldots, E_n)$$V$, el estabilizador de la $k$-avión $\langle E_1, \ldots, E_k \rangle \in Gr_k(V)$ es la Mentira de los subgrupos $H$ consta de bloque triangular superior de las matrices de la forma $$\pmatrix{\ast & \ast \\ 0 & \ast}$$ en $GL(n, \Bbb R) \cong GL(V)$, donde la parte inferior izquierda de cero bloque tiene un tamaño $(n - k) \times k$. Así, podemos identificar $$Gr_k(V) \cong GL(V) / H ;$$ en particular, $H$ es cerrado, y por lo $Gr_k(V)$ admite un único suave colector de estructura tal que el cociente natural mapa de $GL(V) \to Gr_k(V)$ es un buen inmersión.