Definición de $\frac{\sin x}{x}$ en $x=0$

Question

Esta pregunta se basa en este post. Esta es la pregunta:

En $x=0$ , $\frac{\sin x}{x}$ tiene ____? (Las opciones son máxima , minima , punto de inflexión , dicontinuidad )

No he conseguido sacar una conclusión plausible de lo que dicen las respuestas y la discusión del chat(muy interesante) allí.

Estos son algunos de los puntos que deseo aclarar:

1) ¿Es relevante hablar de continuidad en un punto en el que una función ni siquiera está definida (primera, tercera respuestas ( * , *** ) )?

2) ¿Cómo se puede ampliar el dominio de la función para eliminar este discontinuidad

3) La pregunta original no habla de extender el dominio de la función, por lo que es la respuesta 2 ( ** ) ¿es válido?

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Imágenes de las respuestas como referencia:

(*)

( ** )

( *** )

Answer 1

La pregunta no está bien planteada ya que la función no está definida en $x=0$ y por lo tanto no tiene sentido pedir la continuidad para un punto fuera de su dominio natural.

Si definimos $f(0)=0$ entonces la nueva función tiene un discontinuidad removible ya que podemos redefinir $f(0)=1$ y esta nueva función final tiene un máximo en ese punto.

Consulte también el

• ¿Puede una función continua tener discontinuidades?

Answer 2

Para responder a su segunda pregunta, podemos ampliar $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ a una función continua definiendo $$\bar{f}(x) = \begin{cases} f(x), &x\ne 0\\ 1, &x=0 \end{cases}.$$ A menudo llamamos $\bar{f}$ el extensión continua de $f$ a $\mathbb{R}$ . Aquí, entonces, tenemos que $\bar{f}$ se define en todos los $\mathbb{R}$ por lo que sólo hay que demostrar que $\bar{f}$ también es continua en $x = 0$ .