¿El dual de un espacio dual con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos?

Question

$W$ es un espacio de Banach. La topología de $W^*$ es la convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de $W$ . Que está generada por la familia de seminormales $$p_K(f)=\sup_{x\in K}|f(x)|,$$ para todo subconjunto compacto $K\subset W$ .

La cuestión es cómo demostrar el dual de $W^*$ en esta topología es $W$ ?

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta. Es una modificación de la prueba en "Introduction to Tensor Products of Banach spaces, R.A.Ryan" Prop4.6.

Supongamos que $x^{**}$ es un elemento del dual de $W^*$ dotado de la topología dada.

Es fácil ver que existe un subconjunto compacto $K\subset X$ , s.t. $$|x^{**}(f)|\leq \sup_{x\in K}|f(x)|,\forall f\in W^*.$$ Utilice que un conjunto compacto es un subconjunto cerrado del casco convexo cercano de una secuencia $(x_n)$ convergen a $0$ en $W$ . Así que $K$ se puede sustituir por la secuencia. Ahora $\forall f\in W^*,(f(x_n))$ es un elemento de $c_0$ . $x^{**}$ puede extenderse a un funcional acotado sobre $c_0$ , denotan $(\phi_i)\in l_1$ . La representación de $x^{**}$ en W es el límite débil de $\sum \phi_i x_i$ .

Muchas gracias a las personas que han leído esta pregunta.