Son $A^TP+PA<0$ , $P>0$ y $A^TP+PA\leq-I$ , $P\geq I$ ¿equivalente?

Question

Consideremos la LMI, donde $A$ es una matriz de Hurwitz:

$A^TP+PA<0$ , $P>0$ minimizar la traza(P)

Según el libro de Stephen Boyd, las desigualdades son homogéneas en $P$ y, por tanto, puede sustituirse por las desigualdades no estrictas:

$A^TP+PA\leq-I$ , $P\geq I$ minimizar la traza(P)

No entiendo por qué esto es equivalente. Aparentemente la solución $P$ cambios.

Answer 1

Si $P$ es una solución a $A^\top P + P\,A \leq -I,\ P \geq I$ entonces la escala $P$ por alguna pequeña constante positiva arbitraria $\gamma$ las desigualdades estrictas también se satisfacen siempre, ya que

$$\begin{array}{c} A^\top \gamma\,P + \gamma\,P\,A \leq -\gamma\,I < 0, \\ \gamma\,P \geq \gamma\,I > 0. \end{array}$$

Así que la solución de las desigualdades no estrictas siempre puede dar una solución a las desigualdades estrictas.

Answer 2

Porque $A^T P + P A$ y $P$ son funciones homogéneas de $P$ son equivalentes en el siguiente sentido:

1. Cualquier solución de las desigualdades no estrictas ( $A^T P + P A \leq -I$ y $P \geq I$ ) es necesariamente una solución de las desigualdades estrictas ( $A^T P + P A < 0$ y $P > 0$ ).
2. Para cualquier solución de las desigualdades estrictas existe una solución de las desigualdades no estrictas (que a su vez satisfará las desigualdades no estrictas)

Concluimos que la LMI $A^T P + P A < 0$ y $P > 0$ tiene una solución si y sólo si $A^T P + P A \leq -I$ y $P \geq I$ tiene uno.

Ver esto respuesta para una explicación detallada de por qué es necesaria la homogeneidad para demostrarlo.