Tengo una matriz no negativa que es más o menos dominante en diagonal pero no del todo.
Tengo $a_{ii}>a_{ij}$ y $a_{ii}>a_{ji}$ para cualquier $i$ y $j$ no es igual a $i$ .
Me pregunto si debe ser no singular.
Respuesta
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No cuando $A$ es al menos $3\times3$ . Por ejemplo $\pmatrix{5&0&3\\ 0&5&4\\ 3&4&5}$ es singular.
De forma más general, elija cualquier vector unitario $u$ tal que $0<u_i<1$ para cada $i$ . Recoge también algunos $\epsilon\ge0$ . La matriz $A$ es entonces una matriz singular no negativa: $$ \underbrace{\left[\pmatrix{I&u\\ u^T&1}+\epsilon\pmatrix{uu^T&u\\ u^T&1}\right]}_A\pmatrix{u\\ -1}=0. $$ ( $A$ es positivo a la entrada si $\epsilon>0$ .) Cuando $\epsilon\ge0$ es suficientemente pequeño, tenemos $a_{ii}>\max(a_{ij},a_{ji})$ para todos $i\ne j$ .
