Los componentes conectados y los subconjuntos que muestran son iguales

Question

Si $Z_1, Z_2 \subset X $ son componentes conectados, demuestre que $Z_1 = Z_2$ o $Z_1 \cap Z_2 = \emptyset$

Nota: hemos definido la conectividad como una división de dos conjuntos abiertos $U_1$ , $U_2$ tal que $U_1 = X$ y $U_2 = \emptyset $ o viceversa

Me resulta difícil encontrar algo sólido. He pensado en la contradicción y en asumir que mi $Z_1$ , $Z_2$ no estaban conectadas, pero no salió nada de eso. Quizás estoy interpretando mal la pregunta. ¿Debo utilizar una de las implicaciones para mostrar la otra implicación?

Answer 1

Demuestra primero lo siguiente:

Si $X$ es un espacio topológico, y $U,V\subset X$ son subconjuntos conexos tales que $U\cap V\ne\emptyset$ entonces $U\cup V$ está conectado.