Demuestre que el espacio de las funciones continuas de Lipschitz es un espacio de Banach

Question

Dejemos que $X$ sea el espacio vectorial de las funciones continuas de Lipschitz, $[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ . Para $x\in X$ set $$\Vert x \Vert_{Lip}=\vert x(0)\vert+sup_{s\neq t}\left\vert \frac{x(s)-x(t)}{s-t}\right\vert.$$

Necesito probar:

1. $\Vert x \Vert_{\infty}\leq\Vert x \Vert_{Lip}$ para $x\in X.$

2. $\left ( X,\Vert.\Vert_{Lip} \right )$ es un espacio de Banach.

He intentado hacer una estimación de $\Vert x \Vert_{\infty}$ y compararlo con $\Vert x \Vert_{Lip}$ pero no pude llegar tan lejos. En cuanto al punto 2. sé que se parte de una sucesión de Cauchy y hay que demostrar que converge en $X.$ Desgraciadamente, tampoco pude llegar más lejos.

Agradeceré cualquier comentario o ayuda. Gracias.

Answer 1

Tome cualquier $f \in X$ la continuidad de Lipschitz implica que para $c= \sup_{s \neq t} \lvert \frac{f(s)-f(t)}{s-t}\rvert < +\infty$ tenemos $$ \lvert f(x) -f(y) \rvert \leq c \lvert x- y \rvert \leq c $$ para todos $x,y \in [0,1]$ . Ahora bien, fíjate en que $$ \| f \|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} \lvert f(x)\rvert \leq \sup_{x \in [0,1]} \lvert f(x)-f(0) \rvert + \lvert f(0)\rvert. $$ Entonces, claramente $\|f\|_\infty \leq c+\|f(0)\| = \|f \|_{\text{Lip}}$ .

Para demostrar $(X, \|\cdot \|_{\text{Lip}})$ es completa, tome una secuencia de Cauchy $(f_n)_n$ en $(X, \|\cdot \|_{\text{Lip}})$ . Por la desigualdad que acabamos de demostrar, tenemos que $(f_n)_n$ es también una secuencia de Cauchy en $(C([0,1]), \|\cdot \|_\infty)$ que es un espacio de Banach. Así que hay un $f \in C([0,1])$ tal que $f_n$ converge uniformemente a $f$ . Ahora todo lo que tienes que hacer es demostrar que $f$ también es continua de Lipschitz y que $(f_n)_n$ converge a $f$ en la norma de Lipschitz.