Si $\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)a_k = n(n+1)(4n-1)$ , encontrar $a_n$

Question

No se me ocurre qué hacer con este problema. Si se da que $\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)a_k = n(n+1)(4n-1)$ entonces cómo podemos averiguar $a_n$ .

Necesito algunas pistas para empezar.

Answer 1

Encontrar una solución

Una forma es buscar una solución de la forma $a_n=\alpha n + \beta$ .

Entonces $$\begin{split} n(n+1)(4n-1)&=\sum_{k=1}^n (2k-1)a_k \\ &=\sum_{k=1}^n (2k-1)(\alpha k+\beta)\\ &= 2\alpha \left(\sum_{k=1}^n k^2\right)+(2\beta-\alpha)\left(\sum_{k=1}^n k\right) -\beta \left(\sum_{k=1}^n 1\right)\\ &=2\alpha\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(2\beta-\alpha)\frac{n(n+1)}{2}-\beta n \end{split}$$ y expandiendo el lado derecho, se puede identificar el valor de $\alpha$ y $\beta$ .

Esta es la única solución

Esto encuentra una solución, pero no demuestra que sea la única solución. Pero podemos demostrar que lo es.

Tenga en cuenta que si $a=(a_1,a_2,\dots, a_n)^T$ y $b=(6, 42, \dots, n(n+1)(4n-1))^T$ , entonces cualquier solución $a$ verifica $Ma=b$ donde $$M=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0&\dots &0\\ 1&3& 0&\dots&0\\ \vdots\\ 1&3&5&\dots&n(n+1)(4n-1) \end{array}\right)$$ Esta matriz es obviamente invertible, por lo que sólo hay una solución para $Ma=b$ .

Apéndice Obsérvese que la inversa de $M$ puede calcularse explícitamente. De hecho, $M=PD$ donde $$P=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0&\dots &0\\ 1&1& 0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots\\ 1&1&1&\dots&1 \end{array}\right)$$ y $D$ es la matriz diagonal $$D=\left( \begin{array}{ccccc} 1 \\ &3& \\ &&\ddots\\ &&&n(n+1)(4n-1) \end{array}\right)$$ $D$ es fácil de invertir, y $$P^{-1}=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 \dots \\ -1&\ddots& \ddots&\\ 0&\ddots&\ddots\\ \vdots&\ddots&-1&1\\ \end{array}\right)$$

Answer 2

Configurar $n=1$ obtenemos $a_1 = 6$ .

Llame a $b_n = \sum\limits_{k=1}^n (2k-1)a_k = n(n+1)(4n-1)$ .

Entonces, para $n>1$ Por un lado, tenemos $b_n - b_{n-1} = (2n-1) a_n$ por otro lado tenemos $b_n - b_{n-1} = n(n+1)(4n-1) - (n-1)(n)(4(n-1)-1) = (2n-1) 6 n$ .

Cancelar $2n-1$ para conseguir $a_n = 6n$ .

Answer 3

Del comentario de @JMoravitz,

$$\boxed{\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)a_k = n(n+1)(4n-1)}$$

Si $n =1$ , $$\begin{aligned}\implies &(2(1)-1)a_1 = 1(1+1)(4- 1)\\\implies&a_1 = 6\end{aligned}$$

Si $n=2$ , $$\begin{aligned} \implies&a_1 + 3a_2 = 2(2+1)(8-1) \\\implies&6 + 3a_2 = 42\\\implies& a_2 =12\end{aligned}$$

Si $n = 3$ , $$\begin{aligned}\implies&a_1 + 3a_2 + 5a_3 = 3(3+1)(12-1)\\\implies &42+5a_3 = 132\\\implies&a_3 = 18\end{aligned}$$

Si $n = 4$ , $$\begin{aligned}\implies&a_1 + 3a_2 + 5a_3 + 7a_4 = 4(4+1)(16-1)\\\implies& 132+7a_4 = 300\\\implies&a_4 =24 \end{aligned}$$

Ahora, podemos ver que $a_1, a_2, a_3 \cdots a_n$ está formando una progresión aritmética con una diferencia común igual al primer término y es igual a $6$ .

Así que, $$\begin{aligned} a_n & =a + (n-1)d \qquad\qquad \bigg(\text{General form of nth term}\bigg)\\\implies a_n & = 6 + (n-1)6\\\implies a_n& = 6n \end{aligned}$$