Valor propio de $A-aI_3$

Question

Pregunta: Que $A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1\end{pmatrix}$ . Demostrar que $A-aI_3$ tiene un valor propio de 3. Encuentre también el vector propio.

Mi opinión:

Sé que tenemos que aplicar el polinomio característico $|A- \lambda I|$ para encontrar el valor propio. No entiendo la parte $A-aI_3$ . ¿Qué se supone que debo hacer aquí con este $A-aI_3$ ? Estoy un poco confundido. Su amable sugerencia será apreciada.

Answer 1

$A-aI_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ .

¿Qué es? $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}?$

Answer 2

Respuesta alternativa: $A-aI_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ tiene claramente un valor propio $0$

con vectores propios independientes $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.$

La suma de los valores propios es la traza de la matriz, que es $3$ por lo que el otro valor propio es $3$ .

Un vector propio correspondiente al valor propio $3$ está en el núcleo de $\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix}$ es decir $(-2,1,1)\times(1,-2,1)=(-3,-3,-3)$ .

Answer 3

Observe que $A-aI$ es la matriz con sólo unos. Así que $(A-aI)(1,1,1) = 3(1,1,1)$

Answer 4

Otra alternativa ad hoc:

Tenga en cuenta que $B=A-aI = e e^T$ , donde $e$ es un vector de unos.

Para resolver $B v = t v$ observamos que ${\cal R B} = \operatorname{sp} \{ e \}$ Así que el único valor propio no nulo de $B$ se puede encontrar resolviendo $e e^T e = t e$ Así que consigue $t=e^T e = 3$ .

Desde $\dim {R B} = 1$ vemos que $\dim \ker B = 2$ y así $B$ tiene dos valores propios nulos (lo que significa que hay dos valores propios linealmente independientes $v_1,v_2$ tal que $B v_1 = 0, B v_2 = 0$ .

Desde $\ker B = \ker e^T$ podemos encontrar dos adecuados $v_k$ resolviendo $e^T v = 0$ .