Caminos en una cuadrícula con movimientos diagonales permitidos

Question

¿De cuántas formas puede moverse una pieza en la esquina inferior izquierda de un tablero de ajedrez de 5x5 hacia la casilla marcada $B$ en la figura siguiente si la pieza sólo puede moverse hacia arriba, hacia la derecha y en diagonal hacia la parte superior derecha una casilla cada vez?

Intento: Imaginé el tablero como habitaciones cerradas y en cada habitación coloqué una puerta que conectaba cada dos habitaciones. Conté las puertas, eliminé las repeticiones y di 75. Como podía repetir el camino en dirección perpendicular desde la primera habitación añadí otras 75. Obtuve $76+76=152$

Me gustaría saber el fallo en mi razonamiento... la respuesta a la pregunta es 321

Answer 1

No entiendo muy bien lo que has calculado, pero así es como yo lo haría: utiliza el hecho de que cada vez que utilizas un movimiento diagonal consumes uno hacia arriba y otro hacia la derecha.

Puedes conseguir la parte superior derecha con 0 movimientos diagonales y 8 movimientos, 4 a la derecha y 4 hacia arriba en cualquier configuración, o 1 movimiento diagonal y 6 movimientos, 3 a la derecha y 3 hacia arriba en cualquier configuración, etc.

Así que tienes que las combinaciones totales son

$${8 \choose 4} + {7 \choose 1}{6 \choose 3 }+ {6 \choose 2} {4 \choose 2}+ {5\choose 3}{2 \choose 1 }+ { 4 \choose 4} = 321$$