Demostrar que para $1\leq p\leq 2$ y $0<b<a$ , $(a+b)^p+(a-b)^p\geq 2a^p+p(p-1)a^{p-2}b^2$ .

Question

Para empezar este, mi idea es dividir ambos lados por $a^p$ entonces la pregunta será $(1+x)^p+(1-x)^p\geq 2+p(p-1)x^2$ . Así que tenemos que comprobar $f(x)=(1+x)^p+(1-x)^p- 2-p(p-1)x^2\geq 0$ en $x\in(0,1)$ para todos $p\in[1,2]$ . Está claro que es cierto como $p=1,2$ . Y para $p\in(0,1)$ Intento tomar la primera y la segunda derivada, pero el caso se complica mucho.

Answer 1

No, no es complicado: $$f''(x)=p(p-1)((1+x)^{p-2}+(1-x)^{p-2}-2)\geq0$$ por Jensen.

¿Puedes terminar ahora?

He utilizado el siguiente Jensen: $$\frac{(1+x)^{p-2}+(1-x)^{p-2}}{2}\geq\left(\frac{1+x+1-x}{2}\right)^{p-2}=1.$$