Desigualdad para la función característica

Question

Para un distribución discreta la función característica $|\psi(u)|=1$ para otros valores de $u$ que $0$ . También sabemos que $|\psi(u)|\leq 1$ .

¿Cómo implica esto que para un distribución continua necesitamos tener $|\psi(u)|\leq e^{-c}$ para algunos $c>0$ ? Por qué $e^{-c}$ ?

Editar Olvidé mencionar que la condición anterior se cumple para $|u|>T$ para alguna "T" grande. Es decir, la condición es del mismo tipo que $|\psi(u)|=o(|u|^{-n})$ para $|u|\to \infty$ mostrado en el Lemma 4, Ch XV.5 de Feller-"An Introduction to Probability Theory and Its Applications" Vol 2.

El resultado se utiliza en pruebas relacionadas con el resto para expansiones de funciones de densidad (Ver Gnedenko- "Distribuciones límite para sumas de variables aleatorias independientes" p.229 por ejemplo)

Answer 1

Cuando la densidad $f$ es de la clase $C^1$ esto se deduce de una integración por partes.

Para el caso general, podemos aproximar $f$ en $\mathbb L^1(\mathbf R,\lambda)$ por un $C^1$ función.