Hace un par de años, Remilt preguntó si la dimensión del dual topológico de un espacio normado es siempre mayor o igual que la dimensión del espacio original. La respuesta resultó ser positiva. Resulta natural plantear la misma pregunta para la clase más amplia de espacios vectoriales topológicos.
Dado que existen espacios vectoriales topológicos $X$ para lo cual $X^*$ es trivial (por ejemplo el $\ell_p$ espacios para $0<p<1$ ), concentrémonos en los espacios vectoriales topológicos localmente convexos, donde es un hecho estándar que $X^*$ es siempre no trivial. También en tales espacios tenemos teoremas de tipo Hahn-Banach, que siempre son útiles para construir elementos distintos de $X^*$ .
Definición: Para un espacio vectorial topológico $(X, \tau)$ denotamos por $X^*$ el espacio vectorial de las funciones lineales y continuas de $X$ a $\mathbb{R}$ .
Pregunta: Dejemos que $(X,\tau)$ sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. ¿Es cierto que $\dim X\leq \dim X^*$ ?
En el caso de los espacios normados, la prueba consiste en tres sencillos pasos: La dimensión del espacio es igual a su cardinalidad, la cardinalidad está determinada por el carácter de densidad y finalmente el carácter de densidad aumenta cuando tomamos el dual. El primer paso sigue siendo cierto en el caso de los E.V.T., pero el segundo y el tercero deben modificarse mucho, o cambiarse por completo.
Las respuestas positivas parciales, por ejemplo los espacios de Frechet, también son bienvenidas.
