Raíces máximas distintas en $F_q$

Question

Dejemos que $a\in F_q[x]$ y que $r(\cdot)$ denotan el número de raíces distintas sobre $F_q$ . Para cualquier $i|q$ , demuestre que $$\max_{\deg(a)=1}r(x^i-a)=r(x^i-x)$$

Answer 1

Pistas: Demuestre que para cada $a,b \in F_q$ ,

1. $r(x^i - ax) \le r(x^i - x)$ .

2. $r(x^i - ax - b) \le r(x^i - ax)$ .

Para 1), factorizar un $x$ entonces utiliza el hecho de que las raíces de $x^{i-1}-1$ forman un subgrupo multiplicativo. Para 2), utiliza el hecho de que las raíces de $x^i - ax$ forman un subgrupo aditivo.