Geodésica nula Lagrangiana correcta

Question

Soy consciente de que el Lagrangiano para una partícula relativista sin masa es diferente al de una partícula masiva, ya que la acción habitual (los puntos denotan la derivada respecto a $\lambda$ ) $$S =m\int d\lambda \sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu g_{\mu\nu}}\tag{1}$$ no es diferenciable para partículas sin masa (además, el prefactor $m$ es 0). Lo que solemos hacer es introducir un einbein (como se indica en esta respuesta ) y entonces podemos tomar el límite $m\rightarrow 0$ .

Eso nos da la Acción sin masa de la forma $$S = \int d\lambda~ e(\lambda)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu g_{\mu\nu}\tag{2}$$ donde $e(\lambda)$ es el einbein que se puede elegir a voluntad cambiando la parametrización.

Mi problema es el siguiente: ¿cómo determinamos el einbein correcto dado que elegimos una parametrización? Como ejemplo, digamos que tengo la métrica de Schwarzschild $$ds^2 = -(1-\frac{2}{r})dt^2+\frac{dr^2}{1-\frac{2}{r}}+r^2d\theta^2+r^2\sin(\theta^2)d\phi^2\tag{3}$$ y decido parametrizar mis curvas ligeras como $(t,r(t),\theta(t),\phi(t))$ ¿Cómo puedo determinar el einbein correcto? $e(t)$ ?

Answer 1

El einbein (inverso) $e$ es indeterminado por al menos 2 razones:

1. La acción de OP (2) es invariante bajo una simetría gauge de reparametrización de la línea del mundo (WL) $$\begin{align}\lambda^{\prime}~=~&f(\lambda), \qquad d\lambda^{\prime} ~=~ d\lambda\frac{df}{d\lambda},\cr \dot{x}^{\mu}~=~&\dot{x}^{\prime\mu}\frac{df}{d\lambda},\qquad e^{\prime}~=~e\frac{df}{d\lambda}. \end{align}\tag{A}$$

2. Si multiplicamos la acción (2) por una constante no nula (que podemos absorber en $e$ ), no cambia los MOE.

Para obtener un único $e$ Por lo tanto, habría que hacer una elección de calibre. OP considera el gálibo estático $x^0=\lambda$ . En ese caso $e$ está determinada por los MOE hasta una constante global, véase la segunda razón.

Answer 2

El einbein no es más que un multiplicador de Lagrange que hace cumplir la condición de masa-casco. Esto se ve más claramente en la formulación hamiltoniana: \begin{align} S[x,p,e] &= \int d\sigma\,\, p_\mu \dot{x}^\mu - e\,\phi(x,p) \\ 0=\frac{\delta S}{\delta e} &\implies \phi=0, \\ 0=\frac{\delta S}{\delta x},\,\, 0=\frac{\delta S}{\delta p} &\implies \dot{f}=e\{f,\phi\},\,\,\{x^\mu,x^\nu\}=0,\,\,\{x^\mu,p_\nu\}=\delta^\mu_\nu,\,\,\{p_\mu,p_\nu\}=0. \end{align} $\phi(x,p)=\frac{1}{2}(g^{\mu\nu}(x) p_\mu p_\nu +m^2)$ es una restricción hamiltoniana que funciona como generador de evolución temporal y como restricción en el espacio de fase. También es el generador de la transformación gauge de reparametrización, por lo que también lo llamamos por "generador gauge". Cuando $m=0$ obtenemos una partícula relativista sin masa.

Además, el espacio de fase no es más que otro nombre (el de los físicos) para la variedad simpléctica. La mecánica de restricciones en el espacio de fase consiste en describir un submanifold simpléctico en una variedad simpléctica. De ahí que no sólo consideremos la restricción $\phi(x,p)$ pero su restricción de pares $\chi(x,p)$ . Por ejemplo, es habitual dejar que la condición de fijación del gauge dependa del parámetro de tiempo de la línea del mundo y establecer $\chi(x,p,\sigma) = -u_\mu x^\mu - \sigma$ para una forma constante de tiempo $u_\mu$ . Es decir, parametrizamos la línea del mundo con el tiempo de coordenadas en el marco de co-movimiento de $u^\mu$ . (En la configuración del "espacio de fase covariante", establecemos $\chi(x,p)=-u_\mu x^\mu$ y que $\chi(x,p)=0$ describen un tramo de tiempo en el que la posición inicial de la partícula $x^\mu(0)$ toma sus valores). Al introducir esta "condición de fijación de galgas", el número total de restricciones se convierte en un número par; recordemos que las variedades simplécticas son de dimensiones pares.

En general, los multiplicadores de Lagrange se pueden determinar estudiando las tres condiciones siguientes. \begin{equation} (1)\,\,\, \phi=0 \qquad (2)\,\,\, \dot{\phi}=0 \qquad (3)\,\,\, \dot{\chi}=0 \end{equation} Y en el caso de $(2)\, \dot{\phi}=0$ se mantiene idéntico porque $\dot{\phi} = e \{\phi,\phi\}=0$ . Por lo tanto, no aporta información nueva. Normalmente, $e(\sigma)$ se determina aplicando (3). Así se obtienen los célebres corchetes de Dirac. Por ejemplo, puede ser útil echar un vistazo al apéndice A de arXiv:2102.07063 .

El método (3) funciona tanto para las partículas masivas como para las que no tienen masa, así que mi respuesta a tu pregunta será: utilizar no sólo la restricción de masa-caparazón sino también una "restricción gauge" (elegida a su gusto).

La cuestión es que, para las partículas masivas, el einbein también se puede determinar utilizando (1) (que da $e(\sigma) = \frac{1}{m} \sqrt{-\dot{x}^2(\sigma)}$ ), pero para las partículas sin masa, la aplicación de la restricción de la cáscara de masa no da nada. Así que creo que hay algún tipo de diferencia sutil entre las partículas masivas y sin masa, y este podría ser el punto confuso al que se refiere tu pregunta.